Формула Бине — Коши

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула Бине́ — Коши́ — теорема об определителе произведения двух прямоугольных матриц, при условии, что оно является квадратной матрицей. Доказана в начале XIX века французскими математиками Ж. Бине и О. Коши.

Произведение двух прямоугольных матриц и дает квадратную матрицу порядка , если имеет столбцов и строк, а матрица имеет столбцов и строк. Миноры матриц и одинакового порядка, равного наименьшему из чисел и , называются соответствующими друг другу, если они стоят в столбцах (матрицы ) и строках (матрицы ) с одинаковыми номерами.

Определитель матрицы равен нулю, если , и равен сумме попарных произведений соответствующих друг другу миноров порядка , если (сумма берется по всем наборам столбцов матрицы и строк матрицы с возрастающими номерами )[1].

  • В случае формула очевидна. Действительно, так как столбцы матрицы являются линейными комбинациями столбцов матрицы , то в случае, когда число столбцов матрицы больше числа столбцов матрицы , матрица , очевидно, является вырожденной (то есть её определитель равен нулю).
  • В случае формула Бине — Коши принимает хорошо известный вид: .
  • В случае доказательство формулы Бине — Коши более сложно[1].

Пример[править | править вики-текст]

Пусть

Тогда

и соответствующие миноры имеют вид

при всех , принимающих значения от до .

Формула Бине — Коши в этом случае дает равенство

из которого (в случае, когда все и являются вещественными числами) вытекает неравенство Коши — Буняковского[1]:

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 Шафаревич И.Р., Ремизов А.О. Линейная алгебра и геометрия. — М.: Физматлит, 2009.

Ссылки[править | править вики-текст]