Формула Валлиса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В 1655 году Джон Валлис предложил формулу для определения числа \pi:

\frac {\pi}{2}\, = \,\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)} \,= \, \frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot \frac{8}{7}\cdot \frac{8}{9}\cdot \frac{10}{9}\cdot \frac{10}{11}

Дж. Валлис пришёл к ней, вычисляя площадь круга. Это произведение сходится крайне медленно, поэтому для практического вычисления числа  \pi \, формула Валлиса мало пригодна. Однако она полезна в различных теоретических исследованиях, например при выводе формулы Стирлинга. Исторически формула Валлиса имела значение как один из первых примеров бесконечных произведений. Тем не менее, если в этой формуле слегка откорректировать концовку:

 \pi\, \approx \,[ \, \prod_{n=1}^{m-1}\frac{(2n)^2}{(2n-1)(2n+1)} \, ] \, \cdot \, [ \, \frac {2m}{2m-1} \cdot ( \frac {2m}{2m+1} \cdot \frac {1}{4}+1)+ \frac {3}{4} \, ] \,= \, \frac{2}{1}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{4}{3}\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{6}{5}\cdot \frac{6}{7}\cdot [ \, \frac{8}{7}\cdot ( \frac{8}{9}\cdot \frac {1}{4}+1) + \frac {3}{4} \, ]

то скорость сходимости возрастет примерно на пять порядков.

Доказательство пользуясь бесконечным произведением Эйлера функции синуса [1][править | править исходный текст]

\frac{\sin x}{x} = \prod_{n=1}^\infty\left(1 - \frac{x^2}{n^2\pi^2}\right)

Пусть x = π/2:


\Rightarrow\frac{2}{\pi}=\prod_{n=1}^{\infty} \left(1 - \frac{1}{4n^2}\right)
\begin{align}
\Rightarrow\frac{\pi}{2} &{}= \prod_{n=1}^{\infty} \left(\frac{4n^2}{4n^2 - 1}\right) \\
&{}= \prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots
\end{align}

Примечания[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]

Шаблон:En-translate