Формула Гаусса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Формула Гаусса (соотношение Гаусса, уравнение Гаусса) — выражение для гауссовой кривизны поверхности в трёхмерном римановом пространстве через главные кривизны и секционную кривизну объемлющего пространства. В частности, если объемлющее пространство евклидово, то гаусова кривизна поверхности равна произведению главных кривизн в этой точке.

Формулировка[править | править код]

Пусть — двумерная поверхность в трёхмерном римановом пространстве . Тогда

где

  • — гауссова кривизна поверхности в точке ,
  • — секционная кривизна пространства в направлении , касательном к поверхности в точке ,
  • , — главные кривизны поверхности в точке

Обобщение на большие размерности[править | править код]

Формула допускает обобщения на произвольную размерность и коразмерность вложенного подмногообразия . В этом случае тензор кривизны подмногообразия выражается через сужение тензора кривизны пространства на подпространство касательное к и вторую квадратичную форму подмногообразия на касательном пространстве со значениями в нормальном пространстве к :

[1]

Следует иметь в виду, что разные авторы определяют тензор кривизны с разным знаком и порядком аргументов.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Постников М. М. Риманова геометрия М.: Факториал, 1998, стр. 337.

Литература[править | править код]

  • 1. Постников М. М. Риманова геометрия М.: Факториал, 1998, стр. 337.
  • 2. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии М.: Наука, 1981, Т. 2, стр. 30.