Формула Гаусса — Бонне

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Формула Гаусса — Бонне связывает эйлерову характеристику поверхности с её гауссовой кривизной и геодезической кривизной её границы.

Формулировка[править | править код]

Пусть  — компактное двумерное ориентированное риманово многообразие с гладкой границей . Обозначим через гауссову кривизну и через геодезическую кривизну . Тогда

где  — эйлерова характеристика .

В частности, если у нет границы, получаем

Если поверхность деформируется, то её эйлерова характеристика не меняется, в то время как гауссова кривизна может меняться поточечно. Тем не менее, согласно формуле Гаусса — Бонне, интеграл гауссовой кривизны остаётся тот же.

История[править | править код]

Частный случай этой формулы для геодезических треугольников был получен Фридрихом Гауссом[1]. Пьер Бонне[en][2] и Жак Бине независимо обобщили формулу на случай диска ограниченного произвольной кривой; Бине не опубликовал статьи на эту тему, но Бонне упоминаеет об этом на странице 129 своей "Mémoire sur la Théorie Générale des Surfaces". Для неодносвязных областей формула появляется в работе Вальтера фон Дика[3]. Современная формулировка дана Вильгельмом Бляшке[4].

Вариации и обобщения[править | править код]

  • Формула Гаусса — Бонне естественно обобщается на области с кусочно-гладкой границей. Если в точке излома касательный вектор разворачивается на угол в сторону области (может быть положительное или отрицательное число), то формула обобщается до такой:
    • Для вывода этой формулы область нужно аппроксимировать областью, которая имеет сглаженные углы. Затем радиус закругления на углах направляем к нулю.

См. также[править | править код]

Ссылки[править | править код]

  1. C.F.Gauss, Disquisitiones generales circa superficies curvas, Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores. Volume VI, pp. 99–146.
  2. Bonnet, 1848 'Mémoire sur la Théorie Générale des Surfaces', J. École Polytechnique 19 (1848) pp. 1—146
  3. von Dyck W. Beiträge zur analysis situs. Math Ann, 32: 457–512 (1888)
  4. Wilhelm Blaschke, Vorlesungen über Differentialgeometrie und geometrische Grundlagen von Einsteins Relativitätstheorie, 1921
  • С. Е. Степанов, Теорема Гаусса—Бонне, СОЖ, 2000, No 9, с. 116—121.
  • Wu, Hung-Hsi. "Historical development of the Gauss-Bonnet theorem." Science in China Series A: Mathematics 51.4 (2008): 777-784.