Формула Гаусса — Остроградского

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Фо́рмула Гаусса —Остроградского связывает поток непрерывно-дифференцируемого векторного поля через замкнутую поверхность и интеграл от дивергенции этого поля по объёму, ограниченному этой поверхностью.

Формула применяется для преобразования объёмного интеграла в интеграл по замкнутой поверхности и наоборот.

Формулировка[править | править код]

Поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу от , взятому по объему , ограниченному поверхностью [1]

В координатной записи формула Остроградского-Гаусса принимает вид:

- проекции вектора
Следствия из теоремы Остроградского-Гаусса:
1) в соленоидальном поле () поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю.
2) если внутри замкнутой поверхности имеется источник или сток, то поток вектора через эту поверхность не зависит от ее формы.

Замечания[править | править код]

В работе Остроградского формула записана в следующем виде:

где и  — дифференциалы объёма и поверхности соответственно.  — функции, непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка в замкнутой области пространства, ограниченного замкнутой гладкой поверхностью[2].

Современная запись формулы:

где , и . В современной записи  — элемент объёма,  — элемент поверхности[2].

Обобщением формулы Остроградского является формула Стокса для многообразий с краем.

История[править | править код]

Впервые теорема была установлена Лагранжем в 1762[3].

Общий метод преобразования тройного интеграла к поверхностному впервые показал Карл Фридрих Гаусс (1813, 1830) на примере задач электродинамики[4].

В 1826 году М. В. Остроградский вывел формулу в общем виде, представив её в виде теоремы (опубликовано в 1831 году). Многомерное обобщение формулы М. В. Остроградский опубликовал в 1834 году[4]. С помощью данной формулы Остроградский нашёл выражение производной по параметру от -кратного интеграла с переменными пределами и получил формулу для вариации -кратного интеграла.

За рубежом формула как правило называется «теоремой о дивергенции» (англ. divergence theorem), иногда — формулой Гаусса или «формулой (теоремой) Гаусса—Остроградского».

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. "Математический словарь высшей школы" В.Г.Воднев, А.Ф.Наумович, Н.Ф.Наумович. Издательство МПИ. статья "теорема Остроградского" страница 437.
  2. 1 2 Ильин В. А. и др. Математический анализ. Продолжение курса / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Бл. X. Сендов. Под ред. А. Н. Тихонова. — М.: Изд-во МГУ, 1987.— 358 с.
  3. В работе по теории звука в 1762 г. Лагранж рассматривает частный случай теоремы: Lagrange (1762) «Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son» (Новые исследования о природе и распространении звука), Miscellanea Taurinensia (Mélanges de Turin), 2: 11 — 172. Репринтное издание: «Nouvelles recherches sur la nature et la propagation du son» Архивная копия от 15 мая 2016 на Wayback Machine в кн.: J.A. Serret, ed., Oeuvres de Lagrange, (Paris, France: Gauthier-Villars, 1867), vol. 1, pages 151—316; на страницах 263—265 Архивная копия от 13 мая 2016 на Wayback Machine Лагранж преобразовывает тройные интегралы в двойные с помощью интегрирования по частям.
  4. 1 2 Александрова Н. В. Математические термины.(справочник). М.: Высшая школа, 1978, стр. 150—151.

Литература[править | править код]

  • Остроградский М. В. Note sur les integrales definies. // Mem. l’Acad. (VI), 1, стр. 117—122, 29/Х 1828 (1831).
  • Остроградский М. В. Memoire sur le calcul des variations des integrales multiples. // Mem. l’Acad., 1, стр. 35—58, 24/1 1834 (1838).