Формула Карди

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула Карди — формула для предельной вероятности пробоя в двумерной задаче перколяции. Предсказанная в начале 1990-х годов Джоном Карди (англ.) на основании рассуждений конформной теории поля (англ.), она утверждает, что предельная вероятность пробоя между дугами и границы односвязной области в задаче критической перколяции равна

где  — гипергеометрическая функция, а  — двойное отношение

четырёх образов точек при конформном отображении области в верхнюю полуплоскость. [1][2][3]

Формула Карди в переформулировке Карлесона: .

Эта формула была переформулирована Леннартом Карлесоном[4] в следующем виде: если отображение, конформно переводящее область в правильный треугольник со стороной 1, а точки , и в вершины этого треугольника, переводит точку в находящуюся на расстоянии от вершины-образа точки , то искомая вероятность равна[5][2] .

Для случая треугольной решётки эта формула была строго доказана в начале 2000-х годов Станиславом Смирновым с использованием техники дискретно-гармонических функций.[5][2][6]

Формула[править | править вики-текст]

Исторические предпосылки[править | править вики-текст]

Вопрос о вероятности пробоя, для конкретной (трёхмерной) модели (упакованные в ящике заданного размера чёрные и белые шары) задавался ещё в 1894 году, в журнале American Mathematical Monthly. Де Вольсон Вуд предложил[7] следующую задачу:

«

An equal number of white and black balls of equal size are thrown into a rectangular box, what is the probability that there will be contiguous contact of white balls from one end of the box to the opposite end ? As a special example, suppose there are 30 balls in the length of the box, 10 in the width and 5 (or 10) layers deep

»

Стоит отметить, что опубликованное в этом номере решение П. Х. Филбрика было приближённым (в нём предполагалось, что наиболее вероятно существование пробоя по прямой); там же, редакторы предлагали опубликовать точное решение, если кто-нибудь его найдёт. Как мы теперь знаем, сделанное в приближённом решении предположение было далеко от истины.[4]

В 1957 году Бродбент и Хаммерсли заложили основы математической теории перколяции в своей работе[8], исходной точкой для которой послужило исследование просачивания газов сквозь угольный фильтр противогаза[9].

В начале 1990-х появляется работа Ленглендса и др.[10][11], в которой исследуются различные вероятности пробоя в прямоугольной области для шести различных моделей, и обнаруживается, что (в пределах точности численных экспериментов) эти функции для различных моделей совпадают. Кроме того, Айзенман (англ.) высказывает[12][13] гипотезу о конформной инвариантности вероятности пробоя.

Почти сразу после этого, Карди предлагает свою формулу для вероятности пробоя.[1]

Постановка задачи[править | править вики-текст]

Формулой Карди задаётся ответ в задаче о пробое. А именно, рассматривается односвязная область на плоскости, с четырьмя отмеченными точками на границе. При каждом , эта область аппроксимируется решёткой с шагом (или масштабом)  — в зависимости от задачи, квадратной, треугольной, или более сложной; так получается граф с отмеченными точками .

Для каждого , находится вероятность пробоя в этом графе. А именно, вершины графа независимо, каждая с вероятностью 1/2, объявляются «открытыми» или «закрытыми», и искомая вероятность это вероятность наличия пути от дуги к дуге , идущего только по открытым вершинам.

Наконец, искомая вероятность пробоя определяется как предел «дискретизованных» вероятностей при , стремящемся к нулю:

Ответ Карди[править | править вики-текст]

Предложенный Карди (с использованием конформной теории поля) ответ для вероятности пробоя был следующим:

  • Вероятность пробоя конформно-инвариантна, то есть если между областями и есть конформное отображение , переводящее точки на границе в точки на границе , то

Тем самым, достаточно задавать вероятность пробоя лишь для какой-нибудь одной односвязной области, причём три из четырёх точек могут быть зафиксированы.

  • В верхней полуплоскости для точек вероятность пробоя выражается через гипергеометрическую функцию как[2]

Это представление может быть переписано как интеграл

Переформулировка Карлесона[править | править вики-текст]

Вскоре после появления формулы Карди, Леннарт Карлесон заметил[4], что интеграл, стоящий в правой части интегрального представления, задаёт (как функция на верхней полуплоскости) конформное отображение верхней полуплоскости на правильный треугольник. Поэтому, формулу Карди можно упростить, рассмотрев в качестве области правильный треугольник, у которого три из четырёх отмеченных точек находятся в вершинах. В этом случае, вероятность пробоя оказывается равна просто отношению того из отрезков , который не является стороной треугольника, к стороне треугольника.

Доказательство для случая треугольной решётки[править | править вики-текст]

Формула Карди для случая треугольной решётки была доказана Смирновым с использованием техники дискретного комплексного анализа. Одним из шагов его доказательства явилось продолжение вероятности пробоя до функции на внутренности области. А именно, для дискретизованной области с тремя отмеченными точками на границе, рассматривается функция на этой области, задающая вероятность наличия открытого пути от дуги до дуги границы, отделяющего от дуги точку . Вероятность пробоя задаётся значением этой функции в граничной точке .

Оказывается, что как для суммы трёх таких функций,

так и для их линейной комбинации

дискретно-антиголоморфный дифференциал оказывается малым (и стремящимся к нулю с уменьшением шага ). Отсюда следует голоморфность предельных функций и . Наконец, функция голоморфна и принимает только вещественные значения; тем самым, она оказывается постоянной и, в силу граничных значений, тождественно равной единице.

Анализ функции s показывает, что она конформно отображает область в правильный треугольник, переводя точки A, B и C в точки ; формула Карди после этого восстанавливается, исходя из исследования поведения функций на границе.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Cardy, 1992.
  2. 1 2 3 4 Smirnov, 2006.
  3. Sheffield, S. and Wilson, D. B. Schramm’s proof of Watts’ formula (англ.). Архивировано 25 августа 2012 года.
  4. 1 2 3 Смирнов С. К. Выступление на Всероссийском съезде учителей математики в МГУ. Архивировано 25 августа 2012 года.
  5. 1 2 Smirnov, 2001.
  6. Beffara V. Cardy’s formula on the triangular lattice, the easy way. Архивировано 15 мая 2012 года.
  7. Wood D. V., Philbrick P. H. Solutions to problems: 5 // American Mathematical Monthly. — 1894. — Т. 1, № 6. — С. 211-212.
  8. Broadbent S.R., Hammersley J.H. Percolation processes, I. Crystals and mazes (англ.) // Proc. Camb. Phil. Soc.. — 1957. — Vol. 53. — P. 629—641.
  9. Эфрос, 1982, с. 1—2.
  10. Langlands R. P. , Pichet C., Pouliot Ph., Saint-Aubin Y. On the universality of crossing probabilities in two-dimensional percolation // Journal of Statistical Physics. — Vol. 67. — P. 553-574. — DOI:10.1007/BF01049720.
  11. Langlands R. P., Pichet C., Pouliot Ph., Saint-Aubin Y. On the Universality of Crossing Probabilities in Two-Dimensional Percolation // Preprint CRM-1785. — October 1991.
  12. Langlands R., Pouliot Ph., Saint-Aubin Y. Conformal invariance in two-dimensional percolation // Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). — Vol. 30. — P. 1–61.
  13. Smirnov, 2001, p. 239.

Ссылки[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]