Формула Лиувилля — Остроградского

Формула Лиуви́лля-Острогра́дского — формула, связывающая определитель Вронского (вронскиа́н) для решений дифференциального уравнения и коэффициенты в этом уравнении.

Пусть есть дифференциальное уравнение вида

$y^{(n)}+P_{1}(x)y^{(n-1)}+P_{2}(x)y^{(n-2)}+...+P_{n}(x)y=0,$

тогда $W(x)=W(x_{0})e^{-\int \limits _{x_{0}}^{x}P_{1}(\zeta )d\zeta }=Ce^{-\int P_{1}(x)dx},$ где $W(x)$ — определитель Вронского

Для линейной однородной системы дифференциальных уравнений

$y'(x)=A(x)y(x),$ где $A(x)$ — непрерывная квадратная матрица порядка $n$, справедлива формула Лиувилля-Остроградского

$W(x)=W(x_{0})e^{\int \limits _{x_{0}}^{x}\mathop {\rm {tr}} A(\zeta )d\zeta },$ где $\mathop {\rm {tr}} A(x)$ — след матрицы $A(x)$

Правило дифференцирования определителя размерности 2

Производная определителя $\Delta =\Delta (x)={\begin{vmatrix}a_{11}(x)&a_{12}(x)\\a_{21}(x)&a_{22}(x)\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}$ по переменной х имеет вид ${\frac {d\Delta }{dx}}=(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})'=a_{11}'a_{22}+a_{11}a_{22}'-a_{12}'a_{21}-a_{12}a_{21}'={\begin{vmatrix}a_{11}'&a_{12}'\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}'&a_{22}'\end{vmatrix}}$

Правило дифференцирования определителя размерности $n$

Пусть $\Delta =\Delta (x)=\det \left({\begin{matrix}a_{11}(x)&a_{12}(x)&\dots &a_{1n}(x)\\a_{21}(x)&a_{22}(x)&\dots &a_{2n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(x)&a_{n2}(x)&\dots &a_{nn}(x)\\\end{matrix}}\right)$

Тогда для производной $\Delta '(x)$ верно

$\Delta '(x)={\begin{vmatrix}a_{11}'(x)&a_{12}'(x)&\dots &a_{1n}'(x)\\a_{21}(x)&a_{22}(x)&\dots &a_{2n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(x)&a_{n2}(x)&\dots &a_{nn}(x)\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{11}(x)&a_{12}(x)&\dots &a_{1n}(x)\\a_{21}'(x)&a_{22}'(x)&\dots &a_{2n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(x)&a_{n2}(x)&\dots &a_{nn}(x)\\\end{vmatrix}}+\dots +{\begin{vmatrix}a_{11}(x)&a_{12}(x)&\dots &a_{1n}(x)\\a_{21}(x)&a_{22}(x)&\dots &a_{2n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}'(x)&a_{n2}'(x)&\dots &a_{nn}'(x)\\\end{vmatrix}}$

(в $i$-м слагаемом продифференцирована $i$-я строка)

Доказательство

Воспользуемся формулой полного разложения определителя

$\Delta (x)=\sum _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}(-1)^{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}a_{1i_{1}}(x)a_{2i_{2}}(x)\cdots a_{ni_{n}}(x)$

Сумма взята по всевозможным перестановкам чисел $1,2,\dots ,n$, $P(\cdot )$ — четность перестановки.

Дифференцируя это выражение по $x$, получим

${\begin{aligned}[l]\Delta '(x)&=\sum _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}(-1)^{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}{\frac {d\left(a_{1i_{1}}(x)a_{2i_{2}}(x)\cdots a_{ni_{n}}(x)\right)}{dx}}=\\&=\sum _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}(-1)^{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}\left(a_{1i_{1}}'(x)a_{2i_{2}}(x)\cdots a_{ni_{n}}(x)+\dots +a_{1i_{1}}(x)a_{2i_{2}}(x)\cdots a_{ni_{n}}'(x)\right)=\\&=\sum _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}(-1)^{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}a_{1i_{1}}'(x)a_{2i_{2}}(x)\cdots a_{ni_{n}}(x)+\\&+\sum _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}(-1)^{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}a_{1i_{1}}(x)a_{2i_{2}}'(x)\cdots a_{ni_{n}}(x)+\\&+\dots +\\&+\sum _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}(-1)^{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}a_{1i_{1}}(x)a_{2i_{2}}(x)\cdots a_{ni_{n}}'(x)\end{aligned}}$

В каждой сумме продифференцированы элементы $i$-й строки и только они. Заменив суммы определителями, получим

$\Delta '(x)={\begin{vmatrix}a_{11}'(x)&a_{12}'(x)&\dots &a_{1n}'(x)\\a_{21}(x)&a_{22}(x)&\dots &a_{2n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(x)&a_{n2}(x)&\dots &a_{nn}(x)\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{11}(x)&a_{12}(x)&\dots &a_{1n}(x)\\a_{21}'(x)&a_{22}'(x)&\dots &a_{2n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(x)&a_{n2}(x)&\dots &a_{nn}(x)\\\end{vmatrix}}+\dots +{\begin{vmatrix}a_{11}(x)&a_{12}(x)&\dots &a_{1n}(x)\\a_{21}(x)&a_{22}(x)&\dots &a_{2n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}'(x)&a_{n2}'(x)&\dots &a_{nn}'(x)\\\end{vmatrix}}$

Доказательство для уравнения второго порядка

Пусть в уравнении $y''+p(x)y'+q(x)y=0$ функции $p(x),q(x)$ непрерывны на $[a;b]$, а

$y_{1}=y_{1}(x),y_{2}=y_{2}(x)$ — решения данного уравнения.

Продифференцировав определитель Вронского, получим

${\frac {dW}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\y_{1}'&y_{2}'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}y_{1}'&y_{2}'\\y_{1}'&y_{2}'\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\y_{1}''&y_{2}''\end{vmatrix}}$

Первое слагаемое равно 0, так как этот определитель содержит 2 одинаковые строки. Подставив

$y_{1}''=-py_{1}'-qy_{1}$

$y_{2}''=-py_{2}'-qy_{2}$

во второе слагаемое, получим

${\frac {dW}{dx}}={\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\-py_{1}'-qy_{1}&-py_{2}'-qy_{2}\end{vmatrix}}$

Прибавив первую строку, домноженную на q, ко второй, получим

${\frac {dW}{dx}}={\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\-py_{1}'&-py_{2}'\end{vmatrix}}=-pW$

решения линейно независимы, поэтому

$W\neq 0\to {\frac {dW}{W}}=-pdx$ — дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Интегрируя, получим

$\ln |W|=-\int p(x)dx+\ln |C|\to \ln \left|{\frac {W}{C}}\right|=-\int p(x)dx\to W=Ce^{-\int p(x)dx}$

Доказательство для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть вектор-функции ${\mathbf {y} }_{1}(x),{\mathbf {y} }_{2}(x),\dots ,{\mathbf {y} }_{n}(x)$ — решения линейной системы ОДУ. Введем матрицу $\Phi$ следующим образом

$\Phi (x)=\left\|{\begin{matrix}{\mathbf {y} }_{1}(x)&{\mathbf {y} }_{2}(x)&\dots &{\mathbf {y} }_{n}(x)\end{matrix}}\right\|$

Тогда $W(x)\equiv \det \Phi (x)$. Воспользуемся тем, что $y_{i}(x)$ — решения системы ОДУ, то есть ${\mathbf {y} }_{i}'(x)=A(x){\mathbf {y} }_{i}(x)$.

В матричном виде последнее представимо в виде $\left\|{\begin{matrix}{\mathbf {y} }_{1}'(x)&{\mathbf {y} }_{2}'(x)&\dots &{\mathbf {y} }_{n}'(x)\end{matrix}}\right\|=\left\|{\begin{matrix}A(x){\mathbf {y} }_{1}(x)&A(x){\mathbf {y} }_{2}(x)&\dots &A(x){\mathbf {y} }_{n}(x)\end{matrix}}\right\|=A(x)\Phi (x)$

или вводя производную от матрицы как матрицу из производных каждого элемента

$\Phi '(x)=A(x)\Phi (x)$

Пусть $\varphi _{i}(x)$ — $i$-я строка матрицы $\Phi (x)$. Тогда

$\varphi _{i}'(x)=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x)\varphi _{j}(x)$

Последнее означает, что производная от $i$-й строки матрицы $\Phi (x)$ есть линейная комбинация всех строк этой матрицы с коэффициентами из $i$-й строки матрицы $A(x)$. Рассмотрим определитель матрицы $\Phi (x)$, в которой $i$-я строка продифференцирована. Определитель не изменится, если из $i$-й строки этой матрицы вычесть линейную комбинацию всех остальных строк.

$\left|{\begin{matrix}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \\\varphi _{i}'(x)\\\vdots \\\varphi _{n}(x)\\\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x)\varphi _{j}(x)\\\vdots \\\varphi _{n}(x)\\\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x)\varphi _{j}(x)-\sum _{j\neq i}a_{ij}(x)\varphi _{j}(x)\\\vdots \\\varphi _{n}(x)\\\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \\a_{ii}(x)\varphi _{i}(x)\\\vdots \\\varphi _{n}(x)\\\end{matrix}}\right|=a_{ii}(x)W(x)$

Пользуясь формулой дифференцирования определителя, получаем

$W'(x)=a_{11}(x)W(x)+a_{22}(x)W(x)+\dots +a_{nn}(x)W(x)=\operatorname {tr} A(x)W(x)$

Последнее обыкновенное дифференциальное уравнение имеет решение

$W(x)=W(x_{0})e^{\int \limits _{x_{0}}^{x}\operatorname {tr} A(\zeta )d\zeta }$

Доказательство для линейного дифференциального уравнения произвольного порядка

Линейное дифференциальное уравнение $n$-го порядка

$y^{(n)}(x)+P_{1}(x)y^{(n-1)}(x)+\dots +P_{n-1}(x)y'(x)+P_{n}(x)y(x)=0$

эквивалентно следующей системе

${\begin{aligned}y_{n-1}'(x)&=-P_{1}(x)y_{n-1}(x)-\dots -P_{n-1}(x)y_{1}(x)-P_{n}(x)y_{0}(x)\\y_{n-2}'(x)&=y_{n-1}\\\vdots \\y_{1}'(x)&=y_{2}\\y_{0}'(x)&=y_{1}\\\end{aligned}}$

с матрицей $A(x)$ следующего вида

$A(x)=\left({\begin{matrix}0&1&0&\dots &0\\0&0&1&\dots &0\\0&0&\ddots &\ddots &0\\0&0&\dots &0&1\\-P_{n}(x)&-P_{n-1}(x)&\dots &-P_{2}(x)&-P_{1}(x)\\\end{matrix}}\right)$

Вронскианы исходного уравнения и системы совпадают, а след матрицы $A(x)$ равен $-P_{1}(x)$. Подстановкой в формулу для системы получаем

$W(x)=W(x_{0})e^{-\int _{x_{0}}^{x}P_{1}(\zeta )d\zeta }$

Применение формулы Лиувилля-Остроградского

Пусть известно решение $y_{1}(x)$ линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, т. е. $n=2$. Используя формулу Лиувилля-Остроградского, возможно найти линейно независимое от него решение $y_{2}(x)$ той же системы.

Распишем вронскиан:

$Ce^{-\int P_{1}(x)dx}=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}=W.$

${\frac {W}{y_{1}^{2}}}={\frac {y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}}{y_{1}^{2}}}=\left({\frac {y_{2}}{y_{1}}}\right)',$ поэтому

${\frac {y_{2}}{y_{1}}}=\int {\frac {W}{y_{1}^{2}}}dx+B$$\longrightarrow y_{2}=y_{1}\left(\int {\frac {W}{y_{1}^{2}}}dx+B\right)=y_{1}\int {\frac {Ce^{-\int P_{1}(x)dx}}{y_{1}^{2}}}dx+By_{1}$

Так как для линейной независимости $y_{1}(x)$ и $y_{2}(x)$ достаточно $W\neq 0$, приняв $C=1,\,B=0$, получим $y_{2}=y_{1}\int {\frac {e^{-\int P_{1}(x)dx}}{y_{1}^{2}}}dx.$

Пример

Пусть в уравнении $y''-\mathop {\rm {tg}} x\,y'+2y=0$ известно частное решение $y_{1}=\sin x$. Воспользовавшись формулой Лиувилля-Остроградского, получим

$y_{2}=\sin x\int {\frac {dx}{\sin ^{2}xe^{-\int \tan xdx}}}=\sin x\,\ln \left|\tan x+{\frac {1}{\cos x}}\right|\,-1.$

Тогда общее решение однородного уравнения $y=C_{1}\left(\sin x\,\ln \left|\tan x+{\frac {1}{\cos x}}\right|\,-1\right)+C_{2}\sin x$

Используемая литература

• Агафонов С. А., Герман А. Д., Муратова Т. В. Дифференциальные уравнения. Учебник для вузов. — М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 1999. — 366 с. — (Математика в техническом университете; Вып. VIII).
• Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — 2-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. — 344 с.