Формула Пика

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
В = 7, Г = 8,
В + Г/2 − 1 = 10

Формула Пи́ка (или теорема Пи́ка) — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел, согласно которому площадь многоугольника с целочисленными вершинами[1] равна

В + Г / 2 − 1,

где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

В частности, площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2. Этот факт даёт геометрическое доказательство формулы для разницы подходящих дробей цепной дроби.

Доказана Георгом Пиком в 1899 году.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

Если все грани целочисленного многогранника центрально симметричны (в частности если многогранник является зононтопом) то его объём может быть вычеслен по формуле

где суммирование ведётся по всем целочисленным точкам и телесный угол при ; если лежит внутри , то считается что .[2]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Точка координатной плоскости называется целочисленной, если обе её координаты целые.
  2. Tabachnikov, Sergei, Pierre Deligne, and Sinai Robins The Ice Cube Proof (англ.) // The Mathematical Intelligencer. — 2014. — Vol. 36, no. 4. — P. 1-3.

Ссылки[править | править вики-текст]