Формула Стирлинга

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Отношение (ln n!) к (n ln n − n) стремится к 1 с увеличением n.

В математике формула Стирлинга (также формула Муавра — Стирлинга) — формула для приближённого вычисления факториала и гамма-функции. Названа в честь Джеймса Стирлинга и Абрахама де Муавра, последний считается автором формулы.[1]

Наиболее используемый вариант формулы:

\ln \Gamma(n+1) = \ln n! = n\ln n - n +O(\ln(n))\

Следующий член в O(log(n)) — это 12ln(2πn); таким образом более точная аппроксимация:

\lim_{n \rightarrow \infty} {\frac{n!}{\sqrt{2\pi n}\, \left(\frac{n}{e}\right)^{n}}} = 1,

что эквивалентно

n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n.

Формула Стирлинга является первым приближением при разложении факториала в ряд Стирлинга:

\begin{align}
n! &\sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 +{1\over12n}+{1\over288n^2} - {139\over51840n^3} -{571\over2488320n^4}+ \cdots \right) \\
&= \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1+\frac{1}{(2^1)(6n)^1}+{1\over(2^3)(6n)^2}-{139\over(2^3)(2\cdot3\cdot5)(6n)^3}\,- \right. \\
&\qquad\left. -\,{571\over(2^6)(2\cdot3\cdot5)(6n)^4} + \cdots  \right).
 \end{align}

Этот ряд расходится, он является асимптотическим при n\to\infty.

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Pearson, Karl, "«Historical note on the origin of the normal curve of errors»", Biometrika Т. 16: 402–404 [p. 403] : «Стирлинг лишь показал, что арифметическая константа в формуле Муавра равна \sqrt{2\pi}. Я считаю, что это не делает его автором теоремы».