Формула Стирлинга

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Отношение (ln n!) к (n ln n − n) стремится к 1 с увеличением n.

В математике формула Стирлинга (также формула Муавра — Стирлинга) — формула для приближённого вычисления факториала и гамма-функции. Названа в честь Джеймса Стирлинга и Абрахама де Муавра, последний считается автором формулы[1].

Наиболее используемый вариант формулы:

Следующий член в O(ln(n)) — это 12ln(2πn); таким образом более точная аппроксимация:

,

что эквивалентно

.

Часто формулу Стирлинга записывают в виде

, где , .

Более точную оценку дает формула

, где , .

В последней формуле максимальное значение в действительности меньше 1 и примерно равно 0,7509.

Формула Стирлинга является приближением, полученным из разложения факториала в ряд Стирлинга, который при имеет вид

где числа Бернулли с номером .

В этой формуле используется символ эквивалентности вместо равенства, так как ряд расходится при каждом фиксированном , однако он является асимптотическим разложением факториала при .

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Pearson, Karl (1924), "Historical note on the origin of the normal curve of errors", Biometrika Т. 16: 402–404 [p. 403], DOI 10.2307/2331714 : «Стирлинг лишь показал, что арифметическая константа в формуле Муавра равна . Я считаю, что это не делает его автором теоремы».