Формула Фейнмана — Каца

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула Фейнмана — Каца — математическая формула, устанавливающая связь между дифференциальными уравнениями с частными производными (специального типа) и случайными процессами. Названа в честь физика Ричарда Феймана и математика Марка Каца (англ.)

В частности, эта формула дает метод решения уравнения с частными производными с помощью траекторий случайного процесса (так называемый метод Монте-Карло). И наоборот, математическое ожидание случайного процесса может быть вычислено как решение соответствующего уравнения с частными производными.

Формулировка[править | править вики-текст]

Рассмотрим дифференциальное уравнение

с неизвестной функцией , в котором и — независимые переменные, — известные функции. Формула Фейнмана — Каца утверждает, что решение уравнения (*) с начальным (в обратном времени) условием

может быть выражено как условное математическое ожидание

где — вероятностная мера, такая что случайный процесс является процессом Ито, описываемым стохастическим уравнением

в котором винеровский процесс, с начальным условием

.

Многомерный вариант[править | править вики-текст]

Формула Фейнмана — Каца имеет многомерный аналог, когда переменная .

В этом случае дифференциальное уравнение (*) имеет вид

и n-мерный случайный процесс описывается стохастическим уравнением

в котором — это вектор-столбец , n-мерный винеровский процесс, — квадратная матрица порядка n, связанная с матрицей формулой

звёздочка означает транспонирование.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. — М.: Мир, 2003.
  • Protter P. E. Stochastic Integration and Differential Equations. — Springer, 2005.
  • Simon B. Functional Integration and Quantum Physics. — Academic Press, 1979.
  • Klebaner, F.C. Introduction to Stochastic Calculus With Applications. — London, UK: Imperial College Press, 2005.