Формула Фейнмана — Каца

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула Фейнмана — Каца — математическая формула, устанавливающая связь между дифференциальными уравнениями с частными производными (специального типа) и случайными процессами. Названа в честь физика Ричарда Феймана и математика Марка Каца (англ.)

В частности, эта формула дает метод решения уравнения с частными производными с помощью траекторий случайного процесса (так называемый метод Монте-Карло). И наоборот, математическое ожидание случайного процесса может быть вычислено как решение соответствующего уравнения с частными производными.

Формулировка[править | править вики-текст]

Рассмотрим дифференциальное уравнение

\frac{\partial u}{\partial t} + \mu(x,t) \frac{\partial u}{\partial x} + \tfrac{1}{2} \sigma^2(x,t) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - V(x,t) u + f(x,t) = 0 \qquad (*)

с неизвестной функцией u=u(x,t), в котором x \in \mathbb{R} и t \in [0,T] — независимые переменные, \mu, \sigma, V, f — известные функции. Формула Фейнмана — Каца утверждает, что решение уравнения (*) с начальным (в обратном времени) условием

u(x,T)=\psi(x),

может быть выражено как условное математическое ожидание

 u(x,t) = E^Q\left[ \int_t^T e^{-  \int_t^s V(X_\tau)\, d\tau}f(X_s,s)ds + e^{-\int_t^T V(X_\tau)\, d\tau}\psi(X_T) \ \bigg| \ X_t=x \right],

где Q — вероятностная мера, такая что случайный процесс X_t является процессом Ито, описываемым стохастическим уравнением

dX_t = \mu(X_t,t)\,dt + \sigma(X_t,t)\,dW_t^Q, 
\qquad (**)

в котором W_t^Qвинеровский процесс, с начальным условием

X_0=x.

Многомерный вариант[править | править вики-текст]

Формула Фейнмана — Каца имеет многомерный аналог, когда переменная x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n.

В этом случае дифференциальное уравнение (*) имеет вид

\frac{\partial u}{\partial t} + \sum_{i=1}^n \mu_i(x,t) \frac{\partial u}{\partial x_i} + \tfrac{1}{2} \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n \gamma_{ij}(x,t) \frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j} - V(x,t) u + f(x,t) = 0

и n-мерный случайный процесс X_t описывается стохастическим уравнением

dX_t = \mu(X_t,t)\,dt + \Sigma(X_t,t)\,dW_t^Q,

в котором \mu — это вектор-столбец (\mu_1,\ldots,\mu_n), W_t^Qn-мерный винеровский процесс, \Sigma = (\sigma_{ij}) — квадратная матрица порядка n, связанная с матрицей \Gamma = (\gamma_{ij}) формулой

\Gamma = \Sigma \cdot \Sigma^*,

звёздочка означает транспонирование.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Оксендаль Б. Стохастические дифференциальные уравнения. Введение в теорию и приложения. — М.: Мир, 2003.
  • Protter P. E. Stochastic Integration and Differential Equations. — Springer, 2005.
  • Simon B. Functional Integration and Quantum Physics. — Academic Press, 1979.
  • Klebaner, F.C. Introduction to Stochastic Calculus With Applications. — London, UK: Imperial College Press, 2005.