Формула площади Гаусса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Формула шнурования

Формула площади Гаусса (формула землемера или формула шнурования или алгоритм шнурования) — формула определения площади простого многоугольника, вершины которого заданы декартовыми координатами на плоскости. Пользователь перемножает соответствующие координаты и складывает, чтобы найти область, охватывающую многоугольник, и вычитает его из окружающего многоугольника, чтобы найти площадь многоугольника внутри. Это называется формулой шнурков, так как положительные и отрицательные слагаемые из перемножаемых координат располагаются на бумаге крест-накрест, как при завязке шнурков. Она находит применение в геодезии и лесном хозяйстве, среди других областей.

Формула была описана Мейстером (1724—1788) в 1769 году и Гауссом в 1795. Она может быть проверена путем деления многоугольника на треугольники, но её также можно рассматривать как частный случай теоремы Грина.

Формула определения площади определяется путем взятия каждого ребра многоугольника АВ, и вычисления площади треугольника АВО с вершиной в начале координат О, через координаты вершин. При обходе вокруг многоугольника, образуются треугольники, включающие внутреннюю часть многоугольника и расположенные снаружи его. Разница между суммой этих площадей и есть площадь самого многоугольника. Поэтому формула называется формулой геодезиста, так как «картограф» находится в начале координат; если он обходит участок против часовой стрелки, площадь добавляется если она слева и вычитается если она справа с точки зрения из начала координат.

Формула площади верна для любого самонепересекающегося (простого) многоугольника, который может быть выпуклым или вогнутым.

Определение[править | править код]

Формула может быть представлена следующим выражением:

где

  • А  — площадь многоугольника,
  • n  — количество сторон многоугольника,
  • (xi, yi), i = 1, 2,…, n — координаты вершин многоугольника.

Другое представление этой же формулы:[1][2]

где xn+1 = x1 и x0 = xn, так же как yn+1 = y1 и y0 = yn.

Если точки пронумерованы последовательно в направлении против часовой стрелки, то детерминанты в формуле выше положительны и модуль в ней может быть опущен; если они пронумерованы в направлении по часовой стрелке, детерминанты будут отрицательными. Это происходит потому, что формула может рассматриваться как частный случай теоремы Грина.

Примеры[править | править код]

Для применения формулы необходимо знать координаты вершин многоугольника в декартовой плоскости. Для примера возьмём треугольник с координатами {(2, 1), (4, 5), (7, 8)}. Возьмём первую х -координату первой вершины и умножим её на y -координату второй вершины, а затем умножим х второй вершины на y третьей. Повторим эту процедуру для всех вершин. Результат может быть определен по следующей формуле:[3]

где xi и yi обозначают соответствующую координату. Эту формулу можно получить, раскрыв скобки в общей формуле для случая n = 3. По этой формуле можно обнаружить, что площадь треугольника равна половине суммы 10 + 32 + 7 − 4 − 35 − 16, что даёт 3.

Число переменных в формуле зависит от числа сторон многоугольника. Например, в формуле для площади пятиугольника будут использоваться переменные до x5 и y5:

A для четырехугольника — переменные до x4 и y4:

Более сложный пример[править | править код]

Рассмотрим многоугольник, представленный на рисунке и заданный точками (3,4), (5,11), (12,8), (9,5), (5,6):

Figure of this example

Площадь этого многоугольника:

Объяснение названия[править | править код]

Причина того, что эта формула называется формулой шнурков, из-за общего метода, используемого для её вычисления. Этот метод использует матрицу. В качестве примера, возьмём треугольник с вершинами (2,4), (3,-8), и (1,2). Затем построим следующую матрицу, «обходя вокруг» треугольника и заканчивая начальной точкой:

Сначала проведём диагональ вниз и вправо косой чертой, как показано ниже:

ShoelaceMatrix2.GIF

и перемножим пары чисел, соединённых чертой, а затем сложим все суммы: (2 × −8) + (3 × 2) + (1 × 4) = −6. Сделаем то же самое, проводя косую черту по диагонали вниз и влево, как показано ниже:

ShoelaceMatrix3.GIF

(4 × 3) + (−8 × 1) + (2 × 2) = 8. Затем вычтем сумму второй группы из первой и возьмём модуль: |(−6) − (8)| = 14. Деление результата на два дает площадь.

Организация чисел в матрицу с диагональными линиями упрощает запоминание формулы.

В результате проделанной операции с рисованием диагональных (косых) линий матрица с числами напоминает зашнурованную обувь, отсюда и происходит название «алгоритма шнурования».

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Shoelace Theorem, Art of Problem Solving Wiki.
  2. Weisstein, Eric W Polygon Area. Wolfram MathWorld. Проверено 24 июля 2012.
  3. Richard Rhoad. Geometry for Enjoyment and Challenge. — new. — McDougal Littell, 1991. — P. 717–718. — ISBN 0-86609-965-4.