Формула поворота Родрига

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула поворота Родригаформула, связывающая два вектора с общим началом, один из которых получен поворотом другого на известный угол вокруг оси, проходящей через их общее начало:

где — исходный вектор, — результирующий вектор, единичный вектор оси поворота, — угол поворота.

Так же формула записывается в виде:

Лежит в основе векторной теории конечных поворотов и сложения вращений. Получена О. Родригом в 1840 г.[1]

Вывод[править | править вики-текст]

Rodrigues rotation formula.png

Без потери общности, направим ось вдоль единичного вектора , а вектор — лежащим в плоскости OXZ, тогда:

Откуда:

Положим вектор , равный:

Заметим, что:

Тогда вектор можно выразить через векторы и и угол :

Результирующий вектор выражается через векторы и :

Приведя подобные, получим формулу поворота Родрига:

В матричной форме[править | править вики-текст]

Векторное умножение на вектор k можно представить в виде умножения на матрицу K:

Вектор v при поворте вокруг единичного вектора k перейдет в вектор

где

Таким образом получается, что матрица поворота вокруг единичного вектора k на угол

где

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Rodrigues, 1840, p. 380—440.

Литература[править | править вики-текст]