Формула поворота Родрига

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Формула поворота Родригаформула, связывающая два вектора с общим началом, один из которых получен поворотом другого на известный угол вокруг оси, проходящей через их общее начало:

 \vec{R}_2 - \tan(\chi/2) [\vec{e} \times \vec{R}_2] = \vec{R}_1 + \tan(\chi/2) [\vec{e} \times \vec{R}_1]

где \vec{R}_1 — исходный вектор, \vec{R}_2 — результирующий вектор, \vec{e}единичный вектор оси поворота, \chi — угол поворота.

Так же формула записывается в виде:

\vec{R}_2 = (\vec{e} \cdot \vec{R}_1)(1-\cos\chi) \vec{e} + (\vec{e} \times \vec{R}_1)\sin\chi + \vec{R}_1 \cdot \cos \chi

Лежит в основе векторной теории конечных поворотов и сложения вращений. Получена О. Родригом в 1840 г.[1]

Вывод[править | править вики-текст]

Rodrigues rotation formula.png

Без потери общности, направим ось \vec{z} вдоль единичного вектора \vec{e}, а вектор \vec{R}_1 — лежащим в плоскости OXZ, тогда:

 \vec{R}_{1x} = \vec{R}_1 - \vec{R}_{1z}
 \vec{R}_{1y} = 0
 \vec{R}_{1z} = (\vec{e} \cdot \vec{R}_1) \vec{e}

Откуда:

 \vec{R}_{1x} = \vec{R}_1 - (\vec{e} \cdot \vec{R}_1) \vec{e}

Положим вектор \vec{w}, равный:

\vec{w} = \vec{e}\times\vec{R}_1

Заметим, что:

|\vec{w}| = |\vec{e} \times \vec{R}_1| = |\vec{e}| \, |\vec{R}_1| \sin \phi \ = |\vec{R}_1| \sin \phi
|\vec{R}_{1x}| = |\vec{R}_1| \cos(\pi/2-\phi) = |\vec{R}_1| \sin \phi.

Тогда вектор \vec{u}_x можно выразить через векторы \vec{w} и \vec{R}_{1x} и угол \chi:

\vec{R}_{2x} = \vec{R}_{1x}\cos\chi + \vec{w}\sin\chi = (\vec{R}_1 - (\vec{e} \cdot \vec{R}_1) \vec{e})\cos\chi + (\vec{e} \times \vec{R}_1)\sin\chi

Результирующий вектор \vec{R}_2 выражается через векторы \vec{R}_{2x} и \vec{R}_{1z}:

\vec{R}_2 = \vec{R}_{2x} + \vec{R}_{1z} = (\vec{R}_1 - (\vec{e} \cdot \vec{R}_1) \vec{e})\cos\chi + (\vec{e} \times \vec{R}_1)\sin\chi + (\vec{e} \cdot \vec{R}_1) \vec{e}

Приведя подобные, получим формулу поворота Родрига:

\vec{R}_2 = (\vec{e} \cdot \vec{R}_1)(1-\cos\chi) \vec{e} + (\vec{e} \times \vec{R}_1)\sin\chi + \vec{R}_1 \cdot \cos \chi

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Rodrigues, 1840, p. 380—440

Литература[править | править вики-текст]