Фотонный ящик Эйнштейна

Фотонный ящик Эйнштейна — гипотетическое устройство, якобы способное, вопреки соотношению неопределённостей между энергией и временем, измерить энергию фотона с любой заданной точностью в любой момент времени, также заданный с любой точностью. Идея этого устройства была выдвинута А. Эйнштейном во время его дискуссии с Н. Бором на Сольвейской конференции в 1930 г. Н. Бор объяснил этот парадокс и подчеркнул, что необходимо различать собственно измерительные приборы, служащие для определения системы отсчёта и теми частями прибора, которые являются объектами исследования и подвержены квантовым эффектам.

Формулировка парадокса

Фотонный ящик Эйнштейна

Фотонный ящик Эйнштейна состоит из ящика с отверстием в стенке, которое можно открывать и закрывать при помощи часового механизма изнутри ящика. Пусть ящик заполнен излучением, а часовой механизм запрограммирован открыть отверстие в заданный момент на очень короткое время. Таким образом, можно добиться того, что в момент времени, заданный с любой точностью, через отверстие пройдет один фотон. Путем определения разности масс $\Delta m$ ящика до и после этого момента времени при помощи взвешивания, якобы можно, вопреки соотношению неопределённостей между энергией и временем, измерить энергию фотона $\Delta E$ с любой желаемой точностью согласно формуле Эйнштейна зависимости между массой и энергией:

$\Delta E=\Delta mc^{2}$ (1)

Объяснение парадокса

Предположим, что фотонный ящик для взвешивания подвешен на пружине, к нему прикреплена стрелка, а снизу к ящику прикреплена подставка с гирями для точной установки стрелки к нулю измерительной шкалы в процессе взвешивания (см. рис). Для взвешивания фотонного ящика необходимо установить стрелку весов, прикреплённую к ящику, в нулевое положение шкалы с некоторой наперёд заданной точностью $\Delta q$. Но, согласно соотношению неопределённостей, при этом возникает неопределённость импульса ящика $\Delta p$ ($\hbar$ - постоянная Планка):

$\Delta q\Delta p\geqslant {\frac {\hbar }{2}}$.

Эта неопределённость должна быть меньше импульса, переданного полем тяготения телу с массой $\Delta m$ в течение времени $T$, в течение которого происходит процесс взвешивания ($g$ - ускорение свободного падения):

$Tg\Delta m>\Delta p\geqslant {\frac {\hbar }{2\Delta q}}$ (2)

В то же время, по общей теории относительности, часы, сместившиеся в поле силы тяжести на величину $\Delta q$, изменят свой ход таким образом, что их показание в течение промежутка времени $T$ изменится на величину $\Delta T$ ($c$ - скорость света):

${\frac {\Delta T}{T}}={\frac {g\Delta q}{c^{2}}}$ (3)

Из формул (2) и (3) следует, что вследствие взвешивания показания часов содержат неопределённость $\Delta T$:

$\Delta T\geqslant {\frac {\hbar }{2c^{2}\Delta m}}$

Из этой формулы и формулы (1) следует, что неопределённость знаний показаний часов и неопределённость знаний энергии фотона связаны согласно соотношению неопределённостей:

$\Delta T\Delta E\geqslant {\frac {\hbar }{2}}$

См. также

• Дискуссия Бора с Эйнштейном
• Соотношение неопределённостей
• Эквивалентность массы и энергии
• Гравитационное красное смещение

Литература

• Нильс Бор Атомная физика и человеческое познание. - М., ИЛ, 1961. - 150 с.