Фундаментальная группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Фундамента́льная гру́ппа — определённая группа, которая сопоставляется топологическому пространству. Грубо говоря, эта группа измеряет количество «дырок» в пространстве. Наличие «дырки» определяется невозможностью непрерывно продеформировать некоторую замкнутую кривую в точку.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть  — топологическое пространство с отмеченной точкой . Рассмотрим множество петель в из ; то есть множество непрерывных отображений , таких что . Две петли и считаются эквивалентными, если они гомотопны друг другу в классе петель, то есть найдется соединяющая их гомотопия , удовлетворяющая свойству . Соответствующие классы эквивалентности называются гомотопическими классами. Произведением двух петель называется петля, определяемая их последовательным прохождением:

Произведением двух гомотопических классов и называется гомотопический класс произведения петель. Можно показать, что он не зависит от выбора петель в классах. Множество гомотопических классов петель с таким произведением становится группой. Эта группа и называется фундаментальной группой пространства с отмеченной точкой и обозначается .

Комментарии[править | править вики-текст]

  • Единицей группы является класс тождественной, или неподвижной петли, обратным элементом — класс петли, пройденной в обратном направлении.
  • Вообще говоря произведение петель не ассоциативно. Тем не менее индуцированное произведение на классах эквивалентности ассоциативно.
  • Если  — линейно связное пространство, то с точностью до изоморфизма фундаментальная группа не зависит от отмеченной точки. Поэтому для таких пространств можно писать вместо не боясь вызвать путаницу. Однако для двух точек канонический изоморфизм между и существует лишь если фундаментальная группа абелева.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Каждое непрерывное отображение пунктированных пространств индуцирует отображение , определяемое формулой . зависит только от гомотопического класса , и выполняются равенства и . Таким образом, взятие фундаментальной группы вместе с описанной операцией образует функтор .
  • Пространство называется односвязным, если оно линейно связно и группа тривиальна (состоит только из единицы).

Примеры[править | править вики-текст]

  • В есть только один гомотопический класс петель. Следовательно, фундаментальная группа тривиальна, . То же самое верно и для любого пространства-выпуклого подмножества
  • В одномерной сфере (окружности), каждый гомотопический класс состоит из петель, которые навиваются на окружность заданное число раз, которое может быть положительным или отрицательным в зависимости от направления. Следовательно, фундаментальная группа одномерной сферы изоморфна аддитивной группе целых чисел .
  • Фундаментальная группа -мерной сферы тривиальна при всех .
  • Фундаментальная группа ориентированной замкнутой поверхности рода может быть задана образующими с единственным соотношением: .

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если  — ретракт , содержащий отмеченную точку , то гомоморфизм , индуцированный вложением , инъективен.
    • В частности, фундаментальная группа компоненты линейной связности , содержащей отмеченную точку, изоморфна фундаментальной группе всего .
    • Если  — строгий деформационный ретракт , то является изоморфизмом.
  • сохраняет произведение: для любой пары топологических пространств с отмеченными точками и существует изоморфизм
естественный по и .
  • Теорема ван Кампена (англ.): Если  — объединение линейно связных открытых множеств , каждое из которых содержит отмеченную точку , и если каждое пересечение линейно связно, то гомоморфизм , индуцированный вложениями , сюрьективен. Кроме того, если каждое пересечение линейно связно, то ядро гомоморфизма  — это наименьшая нормальная подгруппа , содержащая все элементы вида (где индуцирован вложением ), а потому индуцирует изоморфизм (первая теорема об изоморфизме).[1] В частности,
    • сохраняет копроизведения: естественно по всем .
    • (случай двух ): условие для тройных пересечений становится излишним, и получается, что , что является ограниченной (случаем линейно связного ) формой сохранения толчков.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • Фундаментальная группа является первой из гомотопических групп.
  • Фундаментальным группоидом пространства называют группоид , объектами которого являются точки , а морфизмами — гомотопические классы путей с композицией путей. При этом , и если линейно связно, то вложение является эквивалентностью категорий.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. А. Хатчер, Алгебраическая топология, М.: МЦНМО, 2011.

Литература[править | править вики-текст]