Фу́нкции Бе́сселя в математике — семейство функций , являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:
x
2
d
2
y
d
x
2
+
x
d
y
d
x
+
(
x
2
−
α
2
)
y
=
0
,
{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0,}
где
α
{\displaystyle \alpha }
— произвольное вещественное число (в общем случае комплексное), называемое порядком .
Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков.
Хотя
α
{\displaystyle \alpha }
и
(
−
α
)
{\displaystyle (-\alpha )}
порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по
α
{\displaystyle \alpha }
).
Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли , а названы в честь Фридриха Бесселя .
Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:
электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе ;
теплопроводность в цилиндрических объектах;
формы колебания тонкой круглой мембраны;
распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии;
скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси;
волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.
Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.
Поскольку приведённое уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.
Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми
J
α
(
x
)
{\displaystyle J_{\alpha }(x)}
, являются решения, конечные в точке
x
=
0
{\displaystyle x=0}
при целых или неотрицательных
α
{\displaystyle \alpha }
. Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых
α
{\displaystyle \alpha }
):
J
α
(
x
)
=
∑
m
=
0
∞
(
−
1
)
m
m
!
Γ
(
m
+
α
+
1
)
(
x
2
)
2
m
+
α
.
{\displaystyle J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }.}
Здесь
Γ
(
z
)
{\displaystyle \Gamma (z)}
— это гамма-функция Эйлера , обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду , колебания которой затухают пропорционально
1
x
{\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {x}}}}
, хотя на самом деле нули функции расположены не периодично (однако расстояние между двумя последовательными нулями стремится к
π
{\displaystyle \pi }
при
x
→
∞
{\displaystyle x\to \infty }
)[1] .
Ниже приведены графики
J
α
(
x
)
{\displaystyle J_{\alpha }(x)}
для
α
=
0
,
1
,
2
{\displaystyle \alpha =0,1,2}
:
Если
α
{\displaystyle \alpha }
не является целым числом, функции
J
α
(
x
)
{\displaystyle J_{\alpha }(x)}
и
J
−
α
(
x
)
{\displaystyle J_{-\alpha }(x)}
линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если
α
{\displaystyle \alpha }
целое, то верно следующее соотношение:
J
−
α
(
x
)
=
(
−
1
)
α
J
α
(
x
)
.
{\displaystyle J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x).}
Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода (см. ниже).
Можно дать другое определение функции Бесселя для целых значений
α
{\displaystyle \alpha }
, используя интегральное представление:
J
α
(
x
)
=
1
π
∫
0
π
cos
(
α
τ
−
x
sin
τ
)
d
τ
.
{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\!\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau .}
Этот подход использовал Бессель, изучив с его помощью некоторые свойства функций. Возможно и другое интегральное представление:
J
α
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
π
π
e
i
(
α
τ
−
x
sin
τ
)
d
τ
.
{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(\alpha \tau -x\sin \tau )}\,d\tau .}
Для нахождения интегрального представления функции Бесселя в случае нецелых
α
{\displaystyle \alpha }
необходимо учесть, что имеется разрез вдоль оси абсцисс. Это вызвано тем, что подынтегральное выражение более не является
2
π
{\displaystyle 2\pi }
-периодическим. Таким образом, контур интегрирования разбивается на 3 участка: луч от
−
∞
{\displaystyle -\infty }
до
1
{\displaystyle 1}
, где
ϕ
=
−
π
{\displaystyle \phi =-\pi }
, окружность единичного радиуса и луч от
1
{\displaystyle 1}
до
+
∞
{\displaystyle +\infty }
при
ϕ
=
π
{\displaystyle \phi =\pi }
. Проделав несложные математические преобразования, можно получить следующее интегральное представление:
J
α
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
π
π
e
i
(
x
s
i
n
(
ϕ
)
−
α
ϕ
)
d
ϕ
−
sin
(
α
π
)
π
∫
1
∞
e
−
1
2
x
(
r
−
1
r
)
r
α
+
1
d
r
.
{\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(xsin(\phi )-\alpha \phi )}d\phi -{\frac {\sin(\alpha \pi )}{\pi }}\int \limits _{1}^{\infty }{\frac {e^{-{\frac {1}{2}}x(r-{\frac {1}{r}})}}{{}r^{\alpha +1}}}dr.}
Нетрудно убедиться, что при целых
α
{\displaystyle \alpha }
это выражение переходит в предыдущую формулу.
Функции Неймана — решения
Y
α
(
x
)
{\displaystyle Y_{\alpha }(x)}
уравнения Бесселя, бесконечные в точке
x
=
0
{\displaystyle x=0}
.
Эта функция связана с
J
α
(
x
)
{\displaystyle J_{\alpha }(x)}
следующим соотношением:
Y
α
(
x
)
=
J
α
(
x
)
cos
(
α
π
)
−
J
−
α
(
x
)
sin
(
α
π
)
,
{\displaystyle Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}},}
где в случае целого
α
{\displaystyle \alpha }
берётся предел по
α
{\displaystyle \alpha }
, вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя .
Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя:
y
(
x
)
=
C
1
J
α
(
x
)
+
C
2
Y
α
(
x
)
.
{\displaystyle y(x)=C_{1}J_{\alpha }(x)+C_{2}Y_{\alpha }(x).}
Ниже приведён график
Y
α
(
x
)
{\displaystyle Y_{\alpha }(x)}
для
α
=
0
,
1
,
2
{\displaystyle \alpha =0,1,2}
:
В ряде книг функции Неймана обозначаются
N
α
(
x
)
{\displaystyle N_{\alpha }(x)}
.
Сферические функции Бесселя первого рода,
jn (x ), для
n = 0, 1, 2
Сферические функции Бесселя второго рода,
yn (x ), для
n = 0, 1, 2
При решении уравнения Гельмгольца в сферических координатах методом разделения переменных, уравнение на радиальную часть имеет вид
x
2
d
2
y
d
x
2
+
2
x
d
y
d
x
+
(
x
2
−
n
(
n
+
1
)
)
y
=
0.
{\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0.}
Два линейно-независимых решения называются сферическими функциями Бесселя jn и yn , и связаны с обычными функциями Бесселя Jn и Неймана Yn с помощью[2]
j
n
(
x
)
=
π
2
x
J
n
+
1
2
(
x
)
,
y
n
(
x
)
=
π
2
x
Y
n
+
1
2
(
x
)
=
(
−
1
)
n
+
1
π
2
x
J
−
n
−
1
2
(
x
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{n+{\frac {1}{2}}}(x),\\y_{n}(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}Y_{n+{\frac {1}{2}}}(x)=(-1)^{n+1}{\sqrt {\frac {\pi }{2x}}}J_{-n-{\frac {1}{2}}}(x).\end{aligned}}}
yn также обозначается nn или η n ; некоторые авторы называют эти функции сферическими функциями Неймана .
Сферические функции Бесселя также могут быть записаны как (формула Релея )[3]
j
n
(
x
)
=
(
−
x
)
n
(
1
x
d
d
x
)
n
sin
x
x
,
y
n
(
x
)
=
−
(
−
x
)
n
(
1
x
d
d
x
)
n
cos
x
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}j_{n}(x)&=(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\sin x}{x}},\\y_{n}(x)&=-(-x)^{n}\left({\frac {1}{x}}{\frac {d}{dx}}\right)^{n}{\frac {\cos x}{x}}.\end{aligned}}}
Несколько первых сферических функций Бесселя[4] :
j
0
(
x
)
=
sin
x
x
,
j
1
(
x
)
=
sin
x
x
2
−
cos
x
x
,
j
2
(
x
)
=
(
3
x
2
−
1
)
sin
x
x
−
3
cos
x
x
2
,
j
3
(
x
)
=
(
15
x
3
−
6
x
)
sin
x
x
−
(
15
x
2
−
1
)
cos
x
x
{\displaystyle {\begin{aligned}j_{0}(x)&={\frac {\sin x}{x}},\\j_{1}(x)&={\frac {\sin x}{x^{2}}}-{\frac {\cos x}{x}},\\j_{2}(x)&=\left({\frac {3}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}-{\frac {3\cos x}{x^{2}}},\\j_{3}(x)&=\left({\frac {15}{x^{3}}}-{\frac {6}{x}}\right){\frac {\sin x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\cos x}{x}}\end{aligned}}}
и Неймана[5] :
y
0
(
x
)
=
−
j
−
1
(
x
)
=
−
cos
x
x
,
y
1
(
x
)
=
j
−
2
(
x
)
=
−
cos
x
x
2
−
sin
x
x
,
y
2
(
x
)
=
−
j
−
3
(
x
)
=
(
−
3
x
2
+
1
)
cos
x
x
−
3
sin
x
x
2
,
y
3
(
x
)
=
j
−
4
(
x
)
=
(
−
15
x
3
+
6
x
)
cos
x
x
−
(
15
x
2
−
1
)
sin
x
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}y_{0}(x)&=-j_{-1}(x)=-{\frac {\cos x}{x}},\\y_{1}(x)&=j_{-2}(x)=-{\frac {\cos x}{x^{2}}}-{\frac {\sin x}{x}},\\y_{2}(x)&=-j_{-3}(x)=\left(-{\frac {3}{x^{2}}}+1\right){\frac {\cos x}{x}}-{\frac {3\sin x}{x^{2}}},\\y_{3}(x)&=j_{-4}(x)=\left(-{\frac {15}{x^{3}}}+{\frac {6}{x}}\right){\frac {\cos x}{x}}-\left({\frac {15}{x^{2}}}-1\right){\frac {\sin x}{x}}.\end{aligned}}}
Производящие функции сферических функций Бесселя[6] :
1
z
cos
(
z
2
−
2
z
t
)
=
∑
n
=
0
∞
t
n
n
!
j
n
−
1
(
z
)
,
1
z
sin
(
z
2
−
2
z
t
)
=
∑
n
=
0
∞
t
n
n
!
y
n
−
1
(
z
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{z}}\cos \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}j_{n-1}(z),\\{\frac {1}{z}}\sin \left({\sqrt {z^{2}-2zt}}\right)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}y_{n-1}(z).\end{aligned}}}
В следующих формулах fn может быть заменено на jn , yn , h (1)n , h (2)n , где h (1)n и h (2)n — сферические функции Ханкеля, для n = 0, ±1, ±2, ...[7] :
(
1
z
d
d
z
)
m
(
z
n
+
1
f
n
(
z
)
)
=
z
n
−
m
+
1
f
n
−
m
(
z
)
,
(
1
z
d
d
z
)
m
(
z
−
n
f
n
(
z
)
)
=
(
−
1
)
m
z
−
n
−
m
f
n
+
m
(
z
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{n+1}f_{n}(z)\right)&=z^{n-m+1}f_{n-m}(z),\\\left({\frac {1}{z}}{\frac {d}{dz}}\right)^{m}\left(z^{-n}f_{n}(z)\right)&=(-1)^{m}z^{-n-m}f_{n+m}(z).\end{aligned}}}
Пусть
μ
1
,
μ
2
{\displaystyle \mu _{1},\mu _{2}}
— нули функции Бесселя
J
α
(
x
)
{\displaystyle J_{\alpha }(x)}
. Тогда[1] :
∫
0
1
x
J
α
(
μ
1
x
)
J
α
(
μ
2
x
)
d
x
=
{
0
;
μ
1
≠
μ
2
1
2
(
J
α
′
(
μ
1
)
)
2
;
μ
1
=
μ
2
{\displaystyle \int _{0}^{1}{xJ_{\alpha }(\mu _{1}x)J_{\alpha }(\mu _{2}x)dx}=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}\neq \mu _{2}\\\\{\frac {1}{2}}(J'_{\alpha }(\mu _{1}))^{2}&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}=\mu _{2}\end{matrix}}\right.}
.
Для функций Бесселя первого и второго рода известны асимптотические формулы. При малых аргументах
(
0
<
x
≪
α
+
1
)
{\displaystyle (0<x\ll {\sqrt {\alpha +1}})}
и неотрицательных
α
{\displaystyle \alpha }
они выглядят так[8] :
J
α
(
x
)
→
1
Γ
(
α
+
1
)
(
x
2
)
α
,
{\displaystyle J_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha },}
Y
α
(
x
)
→
{
2
π
[
ln
(
x
/
2
)
+
γ
]
;
α
=
0
−
Γ
(
α
)
π
(
2
x
)
α
;
α
>
0
{\displaystyle Y_{\alpha }(x)\rightarrow \left\{{\begin{matrix}{\frac {2}{\pi }}\left[\ln(x/2)+\gamma \right]&{\mbox{;}}\quad \alpha =0\\\\-{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&{\mbox{;}}\quad \alpha >0\end{matrix}}\right.}
,
где
γ
{\displaystyle \gamma }
— постоянная Эйлера — Маскерони (0,5772…), а
Γ
{\displaystyle \Gamma }
— гамма-функция Эйлера . Для больших аргументов (
x
≫
|
α
2
−
1
/
4
|
{\displaystyle x\gg |\alpha ^{2}-1/4|}
) формулы выглядят так:
J
α
(
x
)
→
2
π
x
cos
(
x
−
α
π
2
−
π
4
)
,
{\displaystyle J_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right),}
Y
α
(
x
)
→
2
π
x
sin
(
x
−
α
π
2
−
π
4
)
.
{\displaystyle Y_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right).}
Использование следующего члена асимптотического разложения позволяет значительно уточнить результат. Для функции Бесселя нулевого порядка он выглядит следующим образом:
J
0
→
2
π
x
cos
(
x
−
π
4
)
+
1
4
x
2
π
x
sin
(
x
−
π
4
)
.
{\displaystyle J_{0}\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos(x-{\frac {\pi }{4}})+{\frac {1}{4x{\sqrt {2\pi x}}}}\sin(x-{\frac {\pi }{4}}).}
Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию :
J
α
(
z
)
=
(
z
/
2
)
α
Γ
(
α
+
1
)
0
F
1
(
α
+
1
;
−
z
2
/
4
)
.
{\displaystyle J_{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}(\alpha +1;-z^{2}/4).}
Таким образом, при целых
α
{\displaystyle \alpha }
функция Бесселя однозначная аналитическая , а при нецелых — многозначная аналитическая .
Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно
e
z
2
(
w
−
1
w
)
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
J
n
(
z
)
w
n
.
{\displaystyle e^{{\frac {z}{2}}\left(w-{\frac {1}{w}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }J_{n}(z)w^{n}.}
Формула Якоби — Ангера и связанные с ней [ править | править код ]
Получается из выражения для производящей функции при
a
=
1
{\displaystyle a=1}
,
w
=
e
i
ϕ
{\displaystyle w=e^{i\phi }}
[9] :
e
i
z
sin
ϕ
=
J
0
(
z
)
+
2
∑
n
=
1
∞
J
2
n
(
z
)
cos
(
2
n
ϕ
)
+
2
i
∑
n
=
1
∞
J
2
n
−
1
(
z
)
sin
(
2
n
−
1
)
ϕ
.
{\displaystyle e^{iz\sin \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\phi )+2i\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n-1}(z)\sin(2n-1)\phi .}
При
a
=
1
{\displaystyle a=1}
,
t
=
i
e
i
ϕ
{\displaystyle t=ie^{i\phi }}
[9] :
e
i
z
cos
ϕ
=
J
0
(
z
)
+
2
∑
n
=
1
∞
i
n
J
n
(
z
)
cos
(
n
ϕ
)
.
{\displaystyle e^{iz\cos \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}J_{n}(z)\cos(n\phi ).}
Для функций Бесселя существует ряд рекуррентных соотношений. Приведём здесь некоторые из них:
J
α
+
1
=
α
x
J
α
−
J
α
′
(
x
)
;
{\displaystyle J_{\alpha +1}={\frac {\alpha }{x}}J_{\alpha }-J'_{\alpha }(x);}
J
α
+
1
(
x
)
+
J
α
−
1
(
x
)
=
2
α
x
J
α
(
x
)
;
{\displaystyle J_{\alpha +1}(x)+J_{\alpha -1}(x)={\frac {2\alpha }{x}}J_{\alpha }(x);}
J
α
+
1
(
x
)
−
J
α
−
1
(
x
)
=
−
2
J
α
′
(
x
)
{\displaystyle J_{\alpha +1}(x)-J_{\alpha -1}(x)=-2J'_{\alpha }(x)}
[10] .
Для любого целого n и комплексных
z
1
{\displaystyle z_{1}}
,
z
2
{\displaystyle z_{2}}
выполняется[11]
J
n
(
z
1
+
z
2
)
=
∑
k
=
−
∞
∞
J
k
(
z
1
)
J
n
−
k
(
z
2
)
.
{\displaystyle J_{n}(z_{1}+z_{2})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }J_{k}(z_{1})J_{n-k}(z_{2}).}
Для любых
a
{\displaystyle a}
и
b
{\displaystyle b}
(в том числе комплексных) выполняется[12]
∫
0
∞
e
−
a
t
J
n
(
b
t
)
d
t
=
b
n
a
2
+
b
2
(
a
2
+
b
2
+
a
)
n
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-at}J_{n}(bt)\mathrm {d} t={\frac {b^{n}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a)^{n}}}.}
Частным случаем последней формулы является выражение
∫
0
∞
e
−
a
t
J
0
(
b
t
)
d
t
=
1
a
2
+
b
2
.
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-at}J_{0}(bt)\mathrm {d} t={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.}
↑ 1 2 Зубов В. И. . Функции Бесселя . — М. : МФТИ, 2007.
↑ Abramowitz and Stegun, p. 437, 10.1.1 .
↑ Abramowitz and Stegun, p. 439, 10.1.25, 10.1.26 .
↑ Abramowitz and Stegun, p. 438, 10.1.11 .
↑ Abramowitz and Stegun, p. 438, 10.1.12 .
↑ Abramowitz and Stegun, p. 439, 10.1.39 .
↑ Abramowitz and Stegun, p. 439, 10.1.23, 10.1.24 .
↑ Arfken G. B., Hans J. W. . Mathematical Methods for Physicists. 6th ed. — San Diego: Harcourt, 2005. — ISBN 0-12-059876-0 .
↑ 1 2 Бейтмен, Эрдейи, 1974 , с. 15.
↑ В. С. Гаврилов и др. Функции Бесселя в задачах математической физики , стр. 7
↑ Лаврентьев, Шабат, 1973 , с. 670.
↑ Лаврентьев, Шабат, 1973 , с. 671.
Ватсон Г. . Теория бесселевых функций. — М. : ИЛ , 1949.
Бейтмен Г., Эрдейи А. . Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. — М. : Наука , 1974. — 296 с.
Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. . Методы теории функций комплексного переменного. — М. : Наука , 1973. — 736 с.