Функции Бесселя

Фу́нкции Бе́сселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0,$$x^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+x{\frac {dy}{dx}}+(x^{2}-\alpha ^{2})y=0,$

где $\alpha$$\alpha$ — произвольное вещественное число (в общем случае — комплексное), называемое порядком.

Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков.

Хотя $\alpha$$\alpha$ и $(-\alpha )$$(-\alpha )$ порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по $\alpha$$\alpha$).

Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.

Применения

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

• электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;
• теплопроводность в цилиндрических объектах;
• формы колебания тонкой круглой мембраны;
• распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии;
• скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси;
• волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Определения

Поскольку приведённое уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.

Функции Бесселя первого рода

Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми $J_{\alpha }(x)$$J_{\alpha }(x)$, являются решения, конечные в точке $x=0$$x=0$ при целых или неотрицательных $\alpha$$\alpha$. Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых $\alpha$$\alpha$):

$J_{\alpha }(x)=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({\frac {x}{2}}\right)}^{2m+\alpha }$$J_{\alpha }(x)=\sum _{{m=0}}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}}{m!\,\Gamma (m+\alpha +1)}}{\left({{\frac {x}{2}}}\right)}^{{2m+\alpha }}$

Здесь $\Gamma (z)$$\Gamma(z)$ — гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально ${\frac {1}{\sqrt {x}}}$${\frac {1}{{\sqrt {x}}}}$, хотя на самом деле нули функции расположены не периодично.

Ниже приведены графики $J_{\alpha }(x)$$J_{\alpha }(x)$ для $\alpha =0$$\alpha = 0$, 1 и 2:

Если $\alpha$$\alpha$ не является целым числом, функции $J_{\alpha }(x)$$J_{\alpha }(x)$ и $J_{-\alpha }(x)$$J_{{-\alpha }}(x)$ линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если $\alpha$$\alpha$ целое, то верно следующее соотношение:

$J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x)$$J_{-\alpha }(x)=(-1)^{\alpha }J_{\alpha }(x)$

Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода (см. ниже).

Интегралы Бесселя

Можно дать другое определение функции Бесселя для целых значений $\alpha$$\alpha$, используя интегральное представление:

$J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{0}^{\pi }\!\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau$$J_{\alpha }(x)={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{{0}}^{{\pi }}\!\cos(\alpha \tau -x\sin \tau )\,d\tau$

Этот подход использовал Бессель, изучив с его помощью некоторые свойства функций. Возможно и другое интегральное представление:

$J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }\!e^{i(\alpha \tau -x\sin \tau )}\,d\tau$$J_{\alpha }(x)={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{{-\pi }}^{{\pi }}\!e^{{i(\alpha \tau -x\sin \tau )}}\,d\tau$

Функции Неймана

Функции Неймана — решения $Y_{\alpha }(x)$$Y_{\alpha }(x)$ уравнения Бесселя, бесконечные в точке $x=0$$x=0$.

Эта функция связана с $J_{\alpha }(x)$$J_{\alpha }(x)$ следующим соотношением:

$Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{-\alpha }(x)}{\sin(\alpha \pi )}},$$Y_{\alpha }(x)={\frac {J_{\alpha }(x)\cos(\alpha \pi )-J_{{-\alpha }}(x)}{\sin(\alpha \pi )}},$

где в случае целого $\alpha$$\alpha$ берётся предел по $\alpha$$\alpha$, вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя.

Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя:

$y(x)=C_{1}J_{\alpha }(x)+C_{2}Y_{\alpha }(x).$$y(x)=C_{1}J_{\alpha }(x)+C_{2}Y_{\alpha }(x).$

Ниже приведён график $Y_{\alpha }(x)$$Y_{\alpha }(x)$ для $\alpha =0$$\alpha = 0$, 1 и 2:

Свойства

Ортогональность

Пусть $\mu _{1}$$\mu _{1}$ и $\mu _{2}$$\mu _{2}$ — нули функции Бесселя $J_{\alpha }(x)$$J_{\alpha }(x)$. Тогда:

$\int _{0}^{1}{xJ_{\alpha }(\mu _{1}x)J_{\alpha }(\mu _{2}x)dx}=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}\neq \mu _{2}\\\\{\frac {1}{2}}(J'_{\alpha }(\mu _{1}))^{2}&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}=\mu _{2}\end{matrix}}\right..$$\int _{0}^{1}{xJ_{\alpha }(\mu _{1}x)J_{\alpha }(\mu _{2}x)dx}=\left\{{\begin{matrix}0&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}\neq \mu _{2}\\\\{\frac {1}{2}}(J'_{\alpha }(\mu _{1}))^{2}&{\mbox{;}}\quad \mu _{1}=\mu _{2}\end{matrix}}\right..$

Асимптотика

Для функций Бесселя первого и второго рода известны асимптотические формулы. При малых аргументах $(0<x\ll {\sqrt {\alpha +1}})$$(0<x\ll {\sqrt {\alpha +1}})$ и неотрицательных $\alpha$$\alpha$ они выглядят так:

$J_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha },$$J_{\alpha }(x)\rightarrow {\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{\alpha },$

$Y_{\alpha }(x)\rightarrow \left\{{\begin{matrix}{\frac {2}{\pi }}\left[\ln(x/2)+\gamma \right]&{\mbox{;}}\quad \alpha =0\\\\-{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&{\mbox{;}}\quad \alpha >0\end{matrix}}\right.,$$Y_{\alpha }(x)\rightarrow \left\{{\begin{matrix}{\frac {2}{\pi }}\left[\ln(x/2)+\gamma \right]&{\mbox{;}}\quad \alpha =0\\\\-{\frac {\Gamma (\alpha )}{\pi }}\left({\frac {2}{x}}\right)^{\alpha }&{\mbox{;}}\quad \alpha >0\end{matrix}}\right.,$

где $\gamma$$\gamma$ — постоянная Эйлера — Маскерони (0,5772…), а $\Gamma$$\Gamma$ — гамма-функция Эйлера. Для больших аргументов ($x\gg |\alpha ^{2}-1/4|$$x\gg |\alpha ^{2}-1/4|$) формулы выглядят так:

$J_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right),$$J_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\cos \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right),$

$Y_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right).$$Y_{\alpha }(x)\rightarrow {\sqrt {\frac {2}{\pi x}}}\sin \left(x-{\frac {\alpha \pi }{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right).$

Гипергеометрический ряд

Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию:

$J_{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}(\alpha +1;-z^{2}/4).$$J_{\alpha }(z)={\frac {(z/2)^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}(\alpha +1;-z^{2}/4).$

Таким образом, при целых $\alpha$$\alpha$ функция Бесселя однозначная аналитическая, а при нецелых — многозначная аналитическая.

Производящая функция

Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно:

$e^{{\frac {z}{2}}\left(w-{\frac {1}{w}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }J_{n}(z)w^{n}.$$e^{{\frac {z}{2}}\left(w-{\frac {1}{w}}\right)}=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }J_{n}(z)w^{n}.$

Соотношения

Формула Якоби — Ангера и связанные с ней

Получается выражения для производящей при $a=1$$a=1$, $t=e^{i\phi }$$t=e^{{i\phi }}$:

$e^{iz\sin \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n}(z)\cos(2n\phi )+2i\sum _{n=1}^{\infty }J_{2n-1}(z)\sin(2n-1)\phi .$$e^{{iz\sin \phi }}=J_{0}(z)+2\sum _{{n=1}}^{\infty }J_{{2n}}(z)\cos(2n\phi )+2i\sum _{{n=1}}^{\infty }J_{{2n-1}}(z)\sin(2n-1)\phi .$

При $a=1$$a=1$, $t=ie^{i\phi }$$t=ie^{{i\phi }}$:

$e^{iz\cos \phi }=J_{0}(z)+2\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}J_{n}(z)\cos(n\phi ).$$e^{{iz\cos \phi }}=J_{0}(z)+2\sum _{{n=1}}^{\infty }i^{n}J_{n}(z)\cos(n\phi ).$

Теорема сложения

Для любого целого $n$$n$ и комплексных $z_{1}$$z_{1}$ и $z_{2}$$z_{2}$ выполняется

$J_{n}(z_{1}+z_{2})=\sum _{k=-\infty }^{\infty }J_{k}(z_{1})J_{n-k}(z_{2}).$$J_{n}(z_{1}+z_{2})=\sum _{{k=-\infty }}^{\infty }J_{k}(z_{1})J_{{n-k}}(z_{2}).$

Интегральные выражения

Для любых $a$$a$ и $b$$b$ (в том числе комплексных) выполняется

$\int _{0}^{\infty }e^{-at}J_{n}(bt)\mathrm {d} t={\frac {b^{n}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a)^{n}}}.$$\int _{0}^{\infty }e^{{-at}}J_{n}(bt){\mathrm d}t={\frac {b^{n}}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}({\sqrt {a^{2}+b^{2}}}+a)^{n}}}.$

Частным случаем последней формулы является выражение

$\int _{0}^{\infty }e^{-at}J_{0}(bt)\mathrm {d} t={\frac {1}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.$$\int _{0}^{\infty }e^{{-at}}J_{0}(bt){\mathrm d}t={\frac {1}{{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}}.$

См. также

• Цилиндрические функции
• Сферические функции
• Модифицированные функции Бесселя
• Луч Бесселя

Литература

• Ватсон Г.  Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949.
• Бейтмен Г., Эрдейи А.  Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. — М.: Наука, 1974. — 296 с.
• Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.  Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1973. — 736 с.