Функции Бесселя

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Фу́нкции Бе́сселя в математике — семейство функций, являющихся каноническими решениями дифференциального уравнения Бесселя:

где  — произвольное вещественное число (в общем случае комплексное), называемое порядком.

Наиболее часто используемые функции Бесселя — функции целых порядков.

Хотя и порождают одинаковые уравнения, обычно договариваются о том, чтобы им соответствовали разные функции (это делается, например, для того, чтобы функция Бесселя была гладкой по ).

Функции Бесселя впервые были определены швейцарским математиком Даниилом Бернулли, а названы в честь Фридриха Бесселя.

Применения[править | править вики-текст]

Уравнение Бесселя возникает во время нахождения решений уравнения Лапласа и уравнения Гельмгольца в цилиндрических и сферических координатах. Поэтому функции Бесселя применяются при решении многих задач о распространении волн, статических потенциалах и т. п., например:

  • электромагнитные волны в цилиндрическом волноводе;
  • теплопроводность в цилиндрических объектах;
  • формы колебания тонкой круглой мембраны
  • распределение интенсивности света, дифрагированного на круглом отверстии.
  • скорость частиц в цилиндре, заполненном жидкостью и вращающемся вокруг своей оси.
  • волновые функции в сферически симметричном потенциальном ящике.

Функции Бесселя применяются и в решении других задач, например, при обработке сигналов.

Определения[править | править вики-текст]

Поскольку приведённое уравнение является линейным дифференциальным уравнением второго порядка, у него должно быть два линейно независимых решения. Однако в зависимости от обстоятельств выбираются разные определения этих решений. Ниже приведены некоторые из них.

Функции Бесселя первого рода[править | править вики-текст]

Функциями Бесселя первого рода, обозначаемыми , являются решения, конечные в точке при целых или неотрицательных . Выбор конкретной функции и её нормализации определяются её свойствами. Можно определить эти функции с помощью разложения в ряд Тейлора около нуля (или в более общий степенной ряд при нецелых ):

Здесь  — это гамма-функция Эйлера, обобщение факториала на нецелые значения. График функции Бесселя похож на синусоиду, колебания которой затухают пропорционально , хотя на самом деле нули функции расположены не периодично.

Ниже приведены графики для :

График функции Бесселя первого рода J

Если не является целым числом, функции и линейно независимы и, следовательно, являются решениями уравнения. Но если целое, то верно следующее соотношение:

Оно означает, что в этом случае функции линейно зависимы. Тогда вторым решением уравнения станет функция Бесселя второго рода (см. ниже).

Интегралы Бесселя[править | править вики-текст]

Можно дать другое определение функции Бесселя для целых значений , используя интегральное представление:

Этот подход использовал Бессель, изучив с его помощью некоторые свойства функций. Возможно и другое интегральное представление:

Функции Неймана[править | править вики-текст]

Функции Неймана — решения уравнения Бесселя, бесконечные в точке .

Эта функция связана с следующим соотношением:

где в случае целого берётся предел по , вычисляемый, например, с помощью правила Лопиталя.

Функции Неймана также называются функциями Бесселя второго рода. Линейная комбинация функций Бесселя первого и второго родов являет собой полное решение уравнения Бесселя:

Ниже приведён график для :

График функции Бесселя второго рода N

Свойства[править | править вики-текст]

Ортогональность[править | править вики-текст]

Пусть - нули функции Бесселя . Тогда[1]:

.

Асимптотика[править | править вики-текст]

Для функций Бесселя первого и второго рода известны асимптотические формулы. При малых аргументах и неотрицательных они выглядят так[2]:

,

где  — постоянная Эйлера — Маскерони (0,5772…), а  — гамма-функция Эйлера. Для больших аргументов () формулы выглядят так:

Гипергеометрический ряд[править | править вики-текст]

Функции Бесселя могут быть выражены через гипергеометрическую функцию:

Таким образом, при целых функция Бесселя однозначная аналитическая, а при нецелых — многозначная аналитическая.

Производящая функция[править | править вики-текст]

Существует представление для функций Бесселя первого рода и целого порядка через коэффициенты ряда Лорана функции определённого вида, а именно

Соотношения[править | править вики-текст]

Формула Якоби — Ангера и связанные с ней[править | править вики-текст]

Получается выражения для производящей при , :[3]

При , :[3]

Теорема сложения[править | править вики-текст]

Для любого целого n и комплексных , выполняется[4]

Интегральные выражения[править | править вики-текст]

Для любых и (в том числе комплексных) выполняется[5]

Частным случаем последней формулы является выражение

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Зубов В. И.  Функции Бесселя. — М.: МФТИ, 2007.
  2. Arfken G. B., Hans J. W.  Mathematical Methods for Physicists. 6th ed. — San Diego: Harcourt, 2005. — ISBN 0-12-059876-0.
  3. 1 2 Бейтмен, Эрдейи, 1974, с. 15.
  4. Лаврентьев, Шабат, 1973, с. 670.
  5. Лаврентьев, Шабат, 1973, с. 671.

Литература[править | править вики-текст]

  • Ватсон Г.  Теория бесселевых функций. — М.: ИЛ, 1949.
  • Бейтмен Г., Эрдейи А.  Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены // Высшие трансцендентные функции. Т. 2. 2-е изд / Пер. с англ. Н. Я. Виленкина. — М.: Наука, 1974. — 296 с.
  • Лаврентьев М. А., Шабат Б. В.  Методы теории функций комплексного переменного. — М.: Наука, 1973. — 736 с.