Функции параболического цилиндра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Фу́нкции параболи́ческого цили́ндра (функции Вебера) — общее название для специальных функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений, получающихся при применении метода разделения переменных для уравнений математической физики, таких как уравнение Лапласа, уравнение Пуассона, уравнение Гельмгольца и др. в системе координат параболического цилиндра.

В общем случае функции параболического цилиндра — решения следующего уравнения

График функций Вебера с положительным целым индексом

При выполнении линейной замены переменной в этом уравнении получается уравнение:

решения которого называются функциями Вебера и обозначаются

Функции являются решениями уравнения Вебера, причём при нецелом функции линейно независимы. Для всех функции также линейно независимы.

График функций Эрмита с положительным индексом
График функций Эрмита с отрицательным целым индексом

На практике часто пользуются и другими функциями параболического цилиндра — функциями Эрмита, являющихся решениями уравнения Эрмита, которое получается из заменой

Функции Эрмита обозначаются Общее решение уравнения

где вырожденная гипергеометрическая функция.

При целом неотрицательном функция Эрмита совпадает с полиномом Эрмита. При целом отрицательном функция Эрмита выражается в замкнутом виде через функцию ошибок.

Рекуррентные соотношения и формулы дифференцирования[править | править вики-текст]

Рекуррентные соотношения[править | править вики-текст]





Формулы дифференцирования[править | править вики-текст]




Интегральные представления[править | править вики-текст]

Асимптотическое поведение[править | править вики-текст]

В начале координат[править | править вики-текст]

На бесконечности[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Уиттекер, Ватсон. Курс современного анализа, 1963, том 2
  • Бейтмен, Эрдейи Высшие трансцендентные функции, том 2
H.F. Weber, "Über die Integration der partiellen Differentialgleichung " Math. Ann. , 1 (1869) pp. 1–36

Ссылки[править | править вики-текст]