Функциональная производная

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике и теоретической физике, функциональная производная является обобщением производной по направлению. Разница заключается в том, что для последней дифференцирование производится в направлении какого-нибудь вектора, а для первой речь идёт о функции. Оба эти понятия можно рассматривать как обобщение обычного дифференциального исчисления.

Существуют два основных вида функциональных производных, соответствующих общему определению производной Фреше и производной Гато функции на банаховом пространстве. На практике они зачастую не различаются.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть  — некоторый функционал, то есть функция, определённая на некотором множестве функций. Значение функционала на функции обозначают . Его производная Гато (производная по направлению) есть предел (если он существует) выражения . Здесь  — некоторая функция из области определения . Отметим, что такая производная, вообще говоря, зависит от выбора функции . В этом смысле ситуация вполне аналогичная конечномерной. Например, функция дифференцируема в точке справа и слева, но эти односторонние производные различны, а в обычном смысле эта функция в 0 не дифференцируема.

Гораздо чаще в приложениях возникает производная функционала, аналогичная классической конечномерной производной и являющаяся частным случаем производной Гато. Не давая общего определения, рассмотрим типичный пример: поиск экстремума функционала на множестве траекторий, проходящих через две заданные точки. Такая задача возникает при исследовании задач классической механики с помощью принципа наименьшего действия, подобного же типа задача о нахождении фигуры максимальной площади с заданным периметром и т. п.

Пусть функционал имеет интегральный вид

Его первой вариацией называется выражение

Если она представима в виде

с точностью до величин второго порядка по , то функция называется функциональной производной по и обозначается . Функционал при этом называют дифференцируемым.

Конкретно в данной задаче , но в общем случае ответ существенно зависит от постановки задачи и граничных условий.

Вторая вариация[править | править вики-текст]

Если функционал дифференцируем, то можно определить аналог второй производной (в данном случае он скорее аналогичен матрице вторых частных производных). Раскладывая полную вариацию до второго порядка по и отбрасывая величины первого порядка, получим выражение, называемое второй вариацией функционала:

Свойства[править | править вики-текст]

Функциональная производная по свойствам аналогично обычной. Например:

  • Линейность.
  • Тождество Лейбница.
  • Разложение полной вариации по частным производным:
  • В точке экстремума функционала его производная равна 0. Точка экстремума является точкой минимума (максимума), если вторая вариация — положительно (отрицательно) определённая квадратичная форма.

и так далее.

Примеры[править | править вики-текст]

Энтропия[править | править вики-текст]

Информационная энтропия дискретной случайной величины это функционал функции вероятности.

Поэтому,

Поэтому,

Экспонента[править | править вики-текст]

Пусть

Использую в качестве пробной функции дельта-функцию,

Поэтому,