Функциональное уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Функциональное уравнение — уравнение, выражающее связь между значением функции в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин «функциональное уравнение» обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.

Примеры[править | править код]

Функциональному уравнению:

,

где  — гамма-функция Эйлера, удовлетворяет дзета-функция Римана .

Гамма-функция является единственным решением этой системы трёх уравнений:

(формула дополнения Эйлера)

Функциональное уравнение:

,

где являются целыми числами, удовлетворяющими равенству , то есть:

,

определяет как модулярную форму порядка .

Функциональные уравнения Коши:

  •  — удовлетворяют все линейные однородные функции ,
  •  — удовлетворяют все показательные функции ,
  •  — удовлетворяют все логарифмические функции ,
  •  — удовлетворяют все степенные функции .

Функциональные уравнения Коши приводятся друг к другу. Так, уравнение приводится к уравнению после замены (для этого, естественно, нужно, чтобы не была тождественным нулём). В классе непрерывных функций и в классе монотонных функций приведённые решения — единственные, если не считать вырожденное решение . Однако в более широких классах функций возможны весьма экзотические решения, см. статью «Базис Гамеля».

Другие:

  •  — квадратичное уравнение или тождество параллелограмма, удовлетворяет ,
  •  — уравнение Йенсена, удовлетворяют все линейные функции ,
  •  — уравнение Лобачевского (версия уравнения Йенсена), удовлетворяет ,
  •  — уравнение Даламбера,
  •  — уравнение Абеля[en],
  •  — уравнение Шрёдера[en], решением является функция Кёнигса, связанная с функцией .

Рекуррентные соотношения[править | править код]

Частным видом функциональных уравнений является рекуррентное соотношение, содержащее неизвестную функцию от целых чисел и оператор сдвига.

Линейные рекуррентные соотношения:

(где  — константы, не зависящие от ) имеют теорию, аналогом которой является теория линейных дифференциальных уравнений. Например, для линейного рекуррентного соотношения:

,

достаточно найти два линейно независимых решения, все остальные решения будут их линейными комбинациями.

Чтобы найти эти решения, надо подставить в рекуррентное соотношение пробную функцию с неопределённым параметром и попробовать найти те , при которых будет удовлетворяться данное рекуррентное соотношение. Для приведённого примера получим квадратное уравнение с двумя различными корнями и поэтому общим решением для данного рекуррентного соотношения будет формула (константы и подбираются так, чтобы при и формула давала нужные значения для величин и ). В случае кратных корней многочлена дополнительными пробными решениями служат функции и так далее.

Одним из широко известных рекуррентных соотношений является , определяющее последовательность Фибоначчи.

Решение функциональных уравнений[править | править код]

Существуют некоторые общие методы решения функциональных уравнений.

В частности, полезным может оказаться применении понятия об инволюции, то есть, использование свойств функций, для которых ; простейшие инволюции:

, , , .

Например, для решения уравнения:

для всех и , положим : . Тогда и . Далее, положив :

Квадрат вещественного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда когда оба числа равны 0. Значит для всех и является единственным решением этого уравнения.

Литература[править | править код]

  • Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25-51.
  • Kuczma M. On the functional equation φn(x) = g(x). Ann. Polon. Math. 11 (1961) 161—175.
  • Kuczma M. An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Warszawa — Kraków — Katowice: Polish Scientific Publishers & Silesian University, 1985.
  • Лихтарников Л. М. Элементарное введение в функциональные уравнения. СПб.: Лань, 1997.

Ссылки[править | править код]