Функциональное уравнение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике функциональным уравнением называется уравнение, выражающее связь между значением функции (или функций) в одной точке с её значениями в других точках. Многие свойства функций можно определить, исследуя функциональные уравнения, которым эти функции удовлетворяют. Термин функциональное уравнение обычно используется для уравнений, несводимых простыми способами к алгебраическим уравнениям. Эта несводимость чаще всего обусловлена тем, что аргументами неизвестной функции в уравнении являются не сами независимые переменные, а некоторые данные функции от них.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Функциональному уравнению

f(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)f(1-s)
где \Gamma(z) — Гамма-функция Эйлера, удовлетворяет Дзета-функция Римана ζ.
  • Следующим трём уравнениям удовлетворяет Гамма-функция. Гамма-функция является единственным решением этой системы трёх уравнений:
f(x)={f(x+1) \over x}\,\!
f(y)f\left(y+\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2y-1}}f(2y)
f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}\,\!\,\,\,       (формула дополнения Эйлера)
  • Функциональное уравнение
f\left({az+b\over cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)\,\!
где a, b, c, d являются целыми числами, удовлетворяющими равенству adbc = 1, то есть 
\begin{vmatrix} a & b\\c & d\end{vmatrix}\,=1, определяет f как модулярную форму порядка k.
  • Различные примеры, не обязательно связанные со «знаменитыми» функциями:
Уравнения Коши:

f(x + y) = f(x)f(y) — удовлетворяют все показательные функции,

f(xy) = f(x) + f(y) — удовлетворяют все логарифмические функции,
f(x + y) = f(x) + f(y) — в классе непрерывных функций имеет решение f(x)=ax,

f(xy)=f(x)f(y) --- имеет решение f(x)=x^a (если не считать f(x) ≡ 0).

Другие:

f(x + y) + f(x - y) = 2[f(x) + f(y)] — квадратичное уравнение или закон параллелограмма, удовлетворяет  f(x)=kx^2 ,
f\left(\frac{x + y}{2}\right) = \frac{f(x) + f(y)}{2} — уравнение Йенсена, удовлетворяют все линейные функции, и его версия
f(x+y)f(x-y)=f(x)^2 — уравнение Лобачевского, решение —  f(x)=ac^x ,
f(x + y) + f(x - y) = 2[f(x) f(y)] — уравнение Даламбера,
f(h(x)) = f(x) + 1 — уравнение Абеля  (англ.),
f(h(x)) = cf(x) — уравнение Шрёдера  (англ.), решением является функция Кёнигса, связанная с функцией  \textstyle h(x) .
Пример реккурентного соотношения:
a(n) = 3a(n-1) + 4a(n-2)\,\!
  • Коммутативный и ассоциативный законы функциональных уравнений. Когда ассоциативный закон выражается в виде его знакомой формы, что позволяет некоторым символом между двумя переменными представляет собой бинарную операцию[стиль!]:
(a*b)*c = a*(b*c).\,

Но если мы напишем f(a, b) вместо  a * b, то ассоциативный закон будет выглядеть как то, что обычно называют функциональным уравнением:

f(f(a, b),c) = f(a, f(b, c)).\,\!

Решение функциональных уравнений[править | править исходный текст]

Решение функциональных уравнений может быть очень трудным, но существуют некоторые общие методы их решения.

Обсуждение инволюции функции полезно. Например, рассмотрим функцию

 f(x) = \frac{1}{x} .

Затем рассмотрим

f(f(x)) = x\,,

если мы продолжим схему мы в конце получим x при четном количестве композиций и f(x) при нечетном. Эта же идея распространяется на многие другие функции, например,

 f(x) = \frac{1}{1-x} + 1 , f(x) = 1-x и многие другие.

Пример 1[править | править исходный текст]

Решить f^2(x+y) = f^2(x) + f^2(y)\, для всех x,y \in \mathbb{R}, где f принимает вещественные значения.

Положим x=y=0: f^2(0)=f^2(0)+f^2(0). Тогда f^2(0)=0 и f(0)=0.

Теперь, положим y=-x:

f^2(x-x)=f^2(x)+f^2(-x)\,
f^2(0)=f^2(x)+f^2(-x)\,
0=f^2(x)+f^2(-x)\,

Квадрат вещественного числа неотрицателен, и сумма неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда когда оба числа равны 0. Значит f^2(x)=0 для всех x и f(x)\equiv0 является единственным решением этого уравнения.

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Kuczma M. On the functional equation φn(x) = g(x). Ann. Polon. Math. 11 (1961) 161—175.
  • Kuczma M. Functional equations in a single variable. Polska Akademia Nauk. Monografie matematyczne, t. 46. Warszawa: Polish Scientific Publishers, 1968.
  • Головинский И. А. Ранняя история аналитических итераций и функциональных уравнений. // Историко-математические исследования. М.: Наука, вып. XXV, 1980, с. 25-51.
  • Kuczma M. An introduction to the theory of functional equations and inequalities. Warszawa — Kraków — Katowice: Polish Scientific Publishers & Silesian University, 1985.
  • Kuczma M. (with B. Choczewski and R. Ger). Iterative functional equations. Cambridge — New-York — Port Chester — Melburn — Sydney: Cambridge Univ. Press, 1990.
  • Лихтарников Л. М. Элементарное введение в функциональные уравнения. СПб.: Лань, 1997.

Ссылки[править | править исходный текст]