Функция Ляпунова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории устойчивости движения, функция Ляпунова является скалярной функцией, которая используется, если имеется обыкновенное дифференциальное уравнение или система обыкновенных дифференциальных уравнений и необходимо исследовать устойчивость их решений  с помощью второго (прямого) метода Ляпунова.  Она названа в честь русского математика и механика Александра Михайловича Ляпунова, основоположника современной теории устойчивости.[1]

В общих теоремах об устойчивости, существование функции Ляпунова с определенными условиями является достаточным условием устойчивости (неустойчивости) движения. Однако, теоремы являются обратимыми и для многих классов обыкновенных дифференциальных уравнений, существование функций Ляпунова является также необходимым условием.

Второй метод Ляпунова не нуждается в нахождении решений дифференциальных уравнений, благодаря чему можно исследовать сложные нелинейные системы. Однако, нахождение подходящей функции Ляпунова всегда являлось очень сложной задачей. Есть ряд исследованных случаев, для которых теоретически выводится критерий устойчивости с помощью общих теорем и функций Ляпунова. Например, устойчивость по первому приближению. Благодаря этому, второй метод Ляпунова получил репутацию метода, имеющего, главным образом теоретический интерес, поскольку построение вспомогательных функций требует неординарной математической интуиции. Однако, этот метод имеет и важное практическое значение[2]

Тем не менее всё же самым главным преимуществом метода функций Ляпунова перед всеми остальными подходами к решению разнообразных задач устойчивости является его универсальность. На данный момент он является единственным математическим аппаратом, который может использоваться для исследования устойчивости динамических систем любого нелинейного вида и любой  размерности.

Уравнения возмущенного движения[3][править | править вики-текст]

Для исследования устойчивости исходные уравнения преобразуют к уравнениям возмущенного движения.

Если дана некая система дифференциальных уравнений

\frac{dy_i}{dt}=Y_i(t,y_1,y_2,...,y_n)

Пусть y_i=f_i(t) частное решение этой системы. Будем считать его невозмущенным, остальные же движения будут возмущенными.

Тогда чтобы исследовать его на устойчивость нужно составить уравнения возмущенного движения.

Обозначим x_i=y_i-f_i(t) возмущение выбранного движения.

Тогда \frac{dx_i}{dt}=\frac{dy_i}{dt}-\frac{df_i}{dt}=Y_i(t,x_1+f_1,x_2+f_2,...,x_n+f_n)-Y_i(t,f_1,f_2,...,f_n)=X_i(t,x_1,x_2,...,x_n)

Каждому движению изначальной системы будет соответствовать решение новой. При этом невозмущенному решению будет соответствовать решение x_1=x_2=...=x_n=0 . И что видно из уравнений X_i(t,0,0,...,0)=0.

Определение функции Ляпунова (для автономных систем)[3][править | править вики-текст]

Пусть дана система возмущенного движения состоящая из n обыкновенных дифференциальных уравнений:

\frac{dx_i}{dt}=X_i(x_1,x_2,...,x_n)

i=1,2,3,...,n

При этом X_i определены и непрерывны в области |x_i|\leq H (где H некоторая положительная постоянная) и обращаются в начале координат в ноль.

Функцией Ляпунова называется некоторая функция V(x_1,x_2,...,x_n) принимающая вещественные значения и удовлетворяющая свойствам:

1) Функция однозначная

2) V(0,0,...,0)=0

3) Непрерывная вместе со своими частными производными.

V=V(x_1,x_2,...,x_n) называется знакоопределенной (определенно-положительной или определенно-отрицательной) если в области |x_i|\leq h \leq H она принимает значение только одного знака и обращается в ноль только в начале координат.

V=V(x_1,x_2,...,x_n) называется знакопостоянной (положительной или отрицательной) если в области |x_i|\leq h \leq H она принимает значения только одного знака и обращается в ноль не только в начале координат.

V=V(x_1,x_2,...,x_n) называется знакопеременной если принимает различные значения.


Теоремы Ляпунова для автономных систем[править | править вики-текст]

Пусть

x^* = 0 \,

является точкой равновесия системы автономных дифференциальных уравнений

\dot{x} = f(x) \,

И пусть

\dot{V}(x) = \frac{\partial V}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt} = \nabla V \cdot \dot{x} = \nabla V\cdot f(x)

будет производная по времени кандидата на функцию Ляпунова V.

Устойчивость точки равновесия[править | править вики-текст]

Если кандидат-функция Ляпунова V является локально положительной и производная по времени является локально неположительной:

\dot{V}(x) \leq 0 \quad \forall x \in \mathcal{B}\setminus\{0\}

в некоторой окрестности \mathcal{B} точки 0, тогда точка равновесия является устойчивой.

Локальная асимптотическая устойчивость[править | править вики-текст]

Если кандидат-функция Ляпунова V является локально положительной и производная по времени локально является отрицательной:

\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathcal{B}\setminus\{0\}

в некоторой окрестности \mathcal{B} точки 0, тогда точка равновесия является локально асимптотически устойчивой .

Глобальная асимптотическая устойчивость[править | править вики-текст]

Если кандидат-функция Ляпунова V является глобально положительной, радиально неограниченной и производная по времени является глобально отрицательной:

\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}^n\setminus\{0\},

тогда точка равновесия глобально асимптотически устойчива.

Кандидат-функция Ляпунова V(x) является радиально неограниченной если

\| x \| \to \infty  \Rightarrow V(x) \to \infty .

Пример[править | править вики-текст]

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение с решением x на \mathbb{R}:

\dot x = -x.

Принимая во внимание то, что функция | x | всегда неотрицательна в любой окрестности начала координат, она будет естественным кандидатом функции Ляпунова для изучения поведения x. Итак, пусть V(x)=|x| на \mathbb{R}\setminus\{0\}. Тогда,

\dot V(x) = V'(x) f(x) = \mathrm{sign}(x)\cdot (-x) = -|x|<0.

Это показывает, что точка равновесия дифференциального уравнения является асимптотически устойчивой в окрестности начала координат.

Каноническое обобщение второго (прямого) метода Ляпунова или общая методика использования функций Ляпунова для решения задач устойчивости[править | править вики-текст]

Хотя до 2014 года не существовало общих методов построения функций Ляпунова, всё же в ряде случаев пути их конструирования были известны. Например, класс квадратичных функций стал базой для построения функций Ляпунова для одномерных нелинейных и многомерных линейных систем. Такой же основой для их нахождения стали законы сохранения некоторых физических систем. Но в целом, начиная с 1892 года, когда А. М. Ляпунов ввёл в своей диссертации эти функции, чтобы изучать устойчивость движения, проблема разработки общего метода их построения научным сообществом считалась практически неразрешимой. Такое положение дел в течение долгих лет, обременнённое ко всему прочему многочисленными безуспешными попытками сдвинуть его с мёртвой точки, придало функциям Ляпунова некий ореол загадочности.

Но в 2014 году вышла статья[4], впервые предложившая процедуру построения функций Ляпунова в самом общем случае, если для заданной многомерной неавтономной нелинейной системы известен полный набор первых интегралов или хотя бы их уровневые сечения (level set). В ней показано как функции Ляпунова топологически связывают устойчивость системы с её внутреннними интегральными и дифференциальными свойствами. Под первыми подразумеваются первые интегралы и их уровневые сечения, которые являются инвариатными многообразиями коразмерности один или иначе инвариатными гиперповерхностями. А под вторыми - векторные поля и поля индикатрис. Следует отметить, что работы в этом направлении велись достаточно долго и упорно, но несмотря на это максимум чего удалось добиться - это построить функции Ляпунова в виде связок (в большинстве своём линейных) первых интегралов для ряда частных случаев. Начало данному подходу положил российский советский механик и математик Н. Г. Четаев.

Два года позже, а именно в 2016 году, свет увидела монография[5], которая на основе стратегии исследования многобразий и обыкновенных дифференциальных уравнений, разработанной французским математиком-универсалистом, физиком, инженером и философом  Анри Пуанкарэ, представила эту общую процедуру в виде топологического обобщения второго (прямого) метода Ляпунова. Эта работа интенсивно использует аппарат дифференциальной и геометрической топологий и базируется на трёх ключевых идеях.

1. Представление расширенного фазового пространства исходной (n+1)-мерной неавтономной динамической системы

{dx \over dt} = f(t, x)

с заданной интегральной кривой x_t = (t, x(t, x_0)), чью устойчивость требуется изучить, в форме топологических слоений, где x = (x_1, ...,x_n ) - фазовый вектор, f(t, x) = (f_1(t, x), ...,f_n(t, x)) - векторное поле, t\in[t_0; +\infty[ - время, x(t, x_0) - частное решение системы дифференциальных уравнений, описывающих исходную динамическую систему, с начальной фазовой точкой x_0.

2. Расширение преобразования Ляпунова \vartheta

\vartheta:z\longrightarrow{x} = z + x(t, x_0),

выпрямляющего интегральную кривую x_t, до нового преобразования, делающего все n n-мерные инвариантные многобразия или гиперповерхности, которые её образуют, взаимно пересекаясь, плоскими, где z = (z_1, ..., z_n). Новое преобразование называется каскадом последовательных выпрямляющих диффеоморфизмов, которое приводит к результирующему канонизирующему диффеоморфизму x = \psi(y), где y = (y_1, ..., y_n). Последнее означает, что исходная динамическая система приобретает каноническую форму, для которой все её n инвариантные гиперповерхности превращаются в соответствующие гиперплоскости, тоже инвариантные.

3. Топологическая классификация накрывающих проекций \{p_1, ..., p_n\} соответствующих накрытий, ассоциированных с дифференциальными уравнениями, описывающими каноническую форму исходной динамической системы.

Графики A, B, C, D иллюстрируют вышеупомянутые идеи для трёхмерной или двумерной неавтономной системы и её канонической формы, описываемой следующими уравнениями

\psi:\{{dx_1 \over dt} = f(t, x), {dx_2 \over dt} = f(t, x)\}\longleftrightarrow\{{dy_1 \over dt} = f_1^2(t, y), {dy_2 \over dt} = f_2^2(t, y)\},

где x = (x_1, x_2), y = (y_1, y_2), f_1^2(t, y)\equiv0, если y_1 = 0 и f_2^2(t, y)\equiv0, если y_2 = 0.

Первая идея графически поясняется графиком A. Вторая - графиками B и C, а третья - графиком D, где p_1:S_1^+{\cup}S_1^0{\cup}S_1^-{\longrightarrow}Y_1^+{\cup}Y_1^0{\cup}Y_1^+ .

Illustration-A.tif
Illustration-B.tif
Illustration-C.tif
Illustration-D2.tif

Примечания[править | править вики-текст]

  1. А.М. Ляпунов. Общая задача об устойчивости. — Москва Ленинград: государственное издание технико-теоретической литературы, 1950.
  2. Н.Руш, П. Абетс, М. Лалуа. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — Москва: Мир, 1980. — С. 7-8. — 300 с.
  3. 1 2 И.Г. Малкин. Теория устойчивости. — Москва: Наука, 1966. — 531 с.
  4. Myroslav Sparavalo The Lyapunov Concept of Stability from the Standpoint of Poincare Approach: General Procedure of Utilization of Lyapunov Functions for Non-Linear Non-Autonomous Parametric Differential Inclusions // arXiv:1403.5761 [cs]. — 2014-03-23.
  5. Myroslav K. Sparavalo. Lyapunov Functions in Nonlinear Unsteady Dynamics and Control: Poincaré's Approach from Metaphysical Theory to Down-to-Earth Practice. — 1 edition. — Myroslav K. Sparavalo, 2016-04-19. — 104 с. — ISBN 9780692694244.