Функция Ляпунова

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории устойчивости движения, функция Ляпунова является скалярной функцией, используемой для исследования устойчивости решения обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью второго (прямого) метода Ляпунова. Названа в честь русского математика и механика Александра Михайловича Ляпунова, основоположника современной теории устойчивости.[1]

В общих теоремах об устойчивости, существование функции Ляпунова с определенными условиями является достаточным условием устойчивости (неустойчивости) движения. Однако, теоремы являются обратимыми и для многих классов обыкновенных дифференциальных уравнений, существование функций Ляпунова является также необходимым условием.

Второй метод Ляпунова не нуждается в нахождении решений дифференциальных уравнений, благодаря чему можно исследовать сложные нелинейные системы. Однако, нахождение подходящей функции Ляпунова не имеет метода и является нетривиальной задачей. Есть ряд исследованных случаев, для которых теоретически выводится критерий устойчивости с помощью общих теорем и функций Ляпунова. Например, устойчивость по первому приближению. Благодаря этому, второй метод Ляпунова получил репутацию метода, имеющего, главным образом теоретический интерес, поскольку построение вспомогательных функций требует математической интуиции. Однако, этот метод имеет и важное практическое значение[2]

Уравнения возмущенного движения[3][править | править вики-текст]

Для исследования устойчивости исходные уравнения преобразуют к уравнением возмущенного движения.

Если дана некая система дифференциальных уравнений

\frac{dy_i}{dt}=Y_i(t,y_1,y_2,...,y_n)

Пусть y_i=f_i(t) частное решение этой системы. Будем считать его невозмущенным, остальные же движения будут возмущенными.

Тогда чтобы исследовать его на устойчивость нужно составить уравнения возмущенного движения.

Обозначим x_i=y_i-f_i(t) возмущение выбранного движения.

Тогда \frac{dx_i}{dt}=\frac{dy_i}{dt}-\frac{df_i}{dt}=Y_i(t,x_1+f_1,x_2+f_2,...,x_n+f_n)-Y_i(t,f_1,f_2,...,f_n)=X_i(t,x_1,x_2,...,x_n)

Каждому движению изначальной системы будет соответствовать решение новой. При этом невозмущенному решению будет соответствовать решение x_1=x_2=...=x_n=0 . И что видно из уравнений X_i(t,0,0,...,0)=0.

Определение функции Ляпунова (для автономных систем)[3][править | править вики-текст]

Пусть дана система возмущенного движения состоящая из n обыкновенных дифференциальных уравнений:

\frac{dx_i}{dt}=X_i(x_1,x_2,...,x_n)

i=1,2,3,...,n

При этом X_i определены и непрерывны в области |x_i|\leq H (где H некоторая положительная постоянная) и обращаются в начале координат в ноль.

Функцией Ляпунова называется некоторая функция V(x_1,x_2,...,x_n) принимающая вещественные значения и удовлетворяющая свойствам:

1) Функция однозначная

2) V(0,0,...,0)=0

3) Непрерывная вместе со своими частными производными.

V=V(x_1,x_2,...,x_n) называется знакоопределенной (определенно-положительной или определенно-отрицательной) если в области |x_i|\leq h \leq H она принимает значение только одного знака и обращается в ноль только в начале координат.

V=V(x_1,x_2,...,x_n) называется знакопостоянной (положительной или отрицательной) если в области |x_i|\leq h \leq H она принимает значения только одного знака и обращается в ноль не только в начале координат.

V=V(x_1,x_2,...,x_n) называется знакопеременной если принимает различные значения.


Теоремы Ляпунова для автономных систем[править | править вики-текст]

Пусть

x^* = 0 \,

является точкой равновесия системы автономных дифференциальных уравнений

\dot{x} = f(x) \,

И пусть

\dot{V}(x) = \frac{\partial V}{\partial x}\cdot \frac{dx}{dt} = \nabla V \cdot \dot{x} = \nabla V\cdot f(x)

будет производная по времени кандидата на функцию Ляпунова V.

Устойчивость точки равновесия[править | править вики-текст]

Если кандидат-функция Ляпунова V является локально положительной и производная по времени является локально неположительной:

\dot{V}(x) \leq 0 \quad \forall x \in \mathcal{B}\setminus\{0\}

в некоторой окрестности \mathcal{B} точки 0, тогда точка равновесия является устойчивой.

Локальная асимптотическая устойчивость[править | править вики-текст]

Если кандидат-функция Ляпунова V является локально положительной и производная по времени локально является отрицательной:

\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathcal{B}\setminus\{0\}

в некоторой окрестности \mathcal{B} точки 0, тогда точка равновесия является локально асимптотически устойчивой .

Глобальная асимптотическая устойчивость[править | править вики-текст]

Если кандидат-функция Ляпунова V является глобально положительной, радиально неограниченной и производная по времени является глобально отрицательной:

\dot{V}(x) < 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}^n\setminus\{0\},

тогда точка равновесия глобально асимптотически устойчива.

Кандидат-функция Ляпунова V(x) является радиально неограниченной если

\| x \| \to \infty  \Rightarrow V(x) \to \infty .

Пример[править | править вики-текст]

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение с решением x на \mathbb{R}:

\dot x = -x.

Принимая во внимание то, что функция | x | всегда неотрицательна в любой окрестности начала координат, она будет естественным кандидатом функции Ляпунова для изучения поведения x. Итак, пусть V(x)=|x| на \mathbb{R}\setminus\{0\}. Тогда,

\dot V(x) = V'(x) f(x) = \mathrm{sign}(x)\cdot (-x) = -|x|<0.

Это показывает, что точка равновесия дифференциального уравнения является асимптотически устойчивой в окрестности начала координат.

Примечания[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. А.М. Ляпунов. Общая задача об устойчивости. — Москва Ленинград: государственное издание технико-теоретической литературы, 1950.
  2. Н.Руш, П. Абетс, М. Лалуа. Прямой метод Ляпунова в теории устойчивости. — Москва: Мир, 1980. — С. 7-8. — 300 с.
  3. 1 2 И.Г. Малкин. Теория устойчивости. — Москва: Наука, 1966. — 531 с.