Функция Мертенса

Функция Мертенса — числовая функция, определяемая для натуральных чисел $n$ формулой:

$M(n)=\sum \limits _{k=1}^{n}\mu (k)$,

где $\mu (k)$ — функция Мёбиуса. Иными словами, $M(n)$ — это разность между количеством свободных от квадратов чисел, не превосходящих $n$ и содержащих чётное число простых множителей, и количеством таких же чисел, но содержащих нечётное число простых множителей.

Может быть расширена на все положительные действительные числа следующим образом:

$M(x)=\sum \limits _{1\leqslant k\leqslant x}\mu (k)$.

Названа в честь Франца Мертенса, предложившего в 1897 году в связи с этой функцией гипотезу Мертенса (позднее отвергнутую).

Свойства

Модуль функции не превосходит аргумент:

$|M(x)|\leqslant x$.

Нетривиальное доказанное свойство — $M(x)=o(x)$. Также установлено, что $M(x)=M([x])$, где $[x]$ — целая часть числа $x$.

Серия тождеств, содержащих функцию Мертенса, получается единообразно на основе следующего факта: если $c_{n}=\sum \limits _{d|n}\mu (n/d)\,a_{d}$, то при $x\geqslant 1$ справедливо тождество:

$\sum \limits _{k\leqslant x}M(x/k)a_{k}=C(x)$, где $C(x)=\sum \limits _{n\leqslant x}c_{n}$ — сумматорная функция последовательности $c_{n}$.

В частности, отсюда получаются следующие тождества, справедливые при $x\geqslant 1$:

$\sum \limits _{k\leqslant x}M(x/k)=1$ — характеристическое свойство функции Мертенса;

$\sum \limits _{k\leqslant x}M(x/k){\rm {ln}}\,k=\psi (x)$, где $\psi (x)$ — вторая функция Чебышёва;

$\sum \limits _{k\leqslant x}M(x/k)|\mu (k)|=M({\sqrt {x}})$;

$\sum \limits _{k\leqslant x}M(x/k)\Lambda (k)={\rm {ln}}\,[x]!$, где $\Lambda (k)$ — функция Мангольдта;

$\sum \limits _{k\leqslant x}M(x/k)\tau (k)=[x]$, где $\tau (k)$ — количество делителей числа $k$.

Функция Мертенса имеет области медленного изменения как в положительную, так и в отрицательную сторону, проходя средние и экстремальные значения, осциллируя, по видимости, хаотическим образом, проходя через нуль при следующих значениях $n$:

2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 427 …

Поскольку функция Мёбиуса может принимать только значения $-1,0,1$, функция Мертенса изменяется медленно: для всех $n$ верно, что $|M(n)|\leqslant n$. Гипотеза Мертенса предполагала более сильное ограничение: для всех $n$ абсолютное значение функции Мертенса не превосходит корня из $n$: $|M(n)|\leqslant {\sqrt {n}}$. Однако, гипотеза была опровергнута 1985 году Анджеем Одлыжко и Германом те Риле. Гипотеза Римана эквивалентна более слабой гипотезе о росте $M(n)$, а именно $M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon })$. Поскольку наибольшие значения $M(n)$ растут как минимум так же быстро, как и корень из $n$, это предположение довольно точно оценивает рост функции Мертенса ($O$ обозначает O большое).

Первые 160 значений

$n$	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
$M(n)$	1	0	-1	-1	-2	-1	-2	-2	-2	-1	-2	-2	-3	-2	-1	-1	-2	-2	-3	-3
$n$	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
$M(n)$	-2	-1	-2	-2	-2	-1	-1	-1	-2	-3	-4	-4	-3	-2	-1	-1	-2	-1	0	0
$n$	41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58	59	60
$M(n)$	-1	-2	-3	-3	-3	-2	-3	-3	-3	-3	-2	-2	-3	-3	-2	-2	-1	0	-1	-1
$n$	61	62	63	64	65	66	67	68	69	70	71	72	73	74	75	76	77	78	79	80
$M(n)$	-2	-1	-1	-1	0	-1	-2	-2	-1	-2	-3	-3	-4	-3	-3	-3	-2	-3	-4	-4
$n$	81	82	83	84	85	86	87	88	89	90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	100
$M(n)$	-4	-3	-4	-4	-3	-2	-1	-1	-2	-2	-1	-1	0	1	2	2	1	1	1	1
$n$	101	102	103	104	105	106	107	108	109	110	111	112	113	114	115	116	117	118	119	120
$M(n)$	0	-1	-2	-2	-3	-2	-3	-3	-4	-5	-4	-4	-5	-6	-5	-5	-5	-4	-3	-3
$n$	121	122	123	124	125	126	127	128	129	130	131	132	133	134	135	136	137	138	139	140
$M(n)$	-3	-2	-1	-1	-1	-1	-2	-2	-1	-2	-3	-3	-2	-1	-1	-1	-2	-3	-4	-4
$n$	141	142	143	144	145	146	147	148	149	150	151	152	153	154	155	156	157	158	159	160
$M(n)$	-3	-2	-1	-1	0	1	1	1	0	0	-1	-1	-1	-2	-1	-1	-2	-1	0	0

Интегральное представление

Используя произведение Эйлера можно получить следующее представление:

${\frac {1}{\zeta (s)}}=\prod \limits _{p}(1-p^{-s})=\sum \limits _{n=1}^{+\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}$,

где $\zeta (s)$ — это дзета-функция Римана, а произведение берётся по всем простым $p$. Тогда, используя ряд Дирихле в правой части с формулой Перрона, получается:

${\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C}{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}ds=M(x),$

где $C$ — замкнутая кривая, окружающая все корни $\zeta (s)$.

Для обращения используется преобразование Меллина:

${\frac {1}{\zeta (s)}}=s\int \limits _{1}^{+\infty }{\frac {M(x)}{x^{s+1}}}dx,$

которое сохраняется при $\Re (s)>1$.

Из предположения, что существуют только некратные нетривиальные корни $\zeta (\rho )$, получается «точная формула» по теореме о вычетах:

${\frac {1}{2\pi i}}\oint \limits _{C}{\frac {x^{s}}{s\zeta (s)}}ds=\sum \limits _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho \zeta '(\rho )}}-2+\sum \limits _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2\pi )^{2n}}{(2n)!n\zeta (2n+1)x^{2n}}}.$

Вейль выдвинул предположение, что функция Мертенса удовлетворяет приближённому функционально-дифференциальному уравнению:

${\frac {y(x)}{2}}-\sum \limits _{r=1}^{N}{\frac {B_{2r}}{(2r)!}}D_{t}^{2r-1}y\left({\frac {x}{t+1}}\right)+x\int _{0}^{x}{\frac {y(u)}{u^{2}}}du=x^{-1}H(\ln x),$

где $H(x)$ — функция Хевисайда, $B_{2r}$ — числа Бернулли, и все производные по $t$ вычисляются при $t=0$.

Титчмарш (1960) доказал следующую формулу, включающую сумму с функцией Мёбиуса и нули дзета-функции Римана в форме:

$\sum \limits _{n=1}^{+\infty }{\frac {\mu (n)}{\sqrt {n}}}g(\ln n)=\sum \limits _{t}{\frac {h(t)}{\zeta '(1/2+it)}}+2\sum \limits _{n=1}^{+\infty }{\frac {(-1)^{n}(2\pi )^{2n}}{(2n)!\zeta (2n+1)}}\int \limits _{-\infty }^{+\infty }g(x)e^{-x(2n+1/2)}dx,$

где $t$ в сумме пробегает все мнимые части нетривиальных нулей, а $(g,h)$ связаны преобразованием Фурье, так что:

$\pi g(x)=\int \limits _{0}^{+\infty }h(u)\cos(ux)du$.

Представление через последовательность Фарея

Другая формула для функции Мертенса:

$M(n)=\sum \limits _{a\in {\mathcal {F}}_{n}}e^{2\pi ia}$,

где ${\mathcal {F}}_{n}$ — последовательность Фарея порядка $n$.

Эта формула используется в доказательстве теореме Франеля — Ландау.

Выражение через определитель

$M(n)$ равна определителю (0,1)-матрицы Редхеффера порядка $n$, в которой $a_{ij}=1$ тогда и только тогда, когда $j=1$ или $i\mid j$.

Матрица Редхеффера возникает при решении следующей системы линейных уравнений:

${\begin{cases}x_{1}+x_{2}+\dots +x_{n}=1\\x_{2}+x_{4}+\dots +x_{2[n/2]}=1\\x_{3}+x_{6}+\dots +x_{3[n/3]}=1\\\dots \\\sum \limits _{k\leqslant n,\,d|k}x_{k}=1\\\dots \\\end{cases}}$

Матрица системы имеет треугольный вид, на главной диагонали у неё стоят единицы, поэтому определитель системы равен единице и решение системы существует и единственно.

Решением системы являются числа $x_{1}=M(n),\,x_{2}=M(n/2),\,x_{3}=M(n/3),\,\dots ,\,x_{k}=M(n/k),\,\dots ,\,x_{n}=M(n/n)=1,$ в силу характеристического свойства функции Мертенса: $\sum \limits _{k\leqslant x}M(x/k)=1$

При решении системы по правилу Крамера с учётом, что определитель системы равен 1, получается, что $x_{1}$, равный $M(n)$, равен определителю матрицы, полученной из матрицы системы заменой первого столбца на столбец из единиц, а это и есть матрица Редхеффера порядка $n$.

Вычисление

Функция Мертенса была вычислена для возрастающих диапазонов $n$:

• Мертенс (1897) — 10⁴,
• фон Штернек (1897) — 1,5⋅10⁵,
• фон Штернек (1901) — 5⋅10⁵,
• фон Штернек (1912) — 5⋅10⁶,
• Нойбауэр (1963) — 10⁸,
• Коэн и Дресс (1979) — 7,8⋅10⁹,
• Дресс (1993) — 10¹²,
• Лиун и ван де Луне (1994) — 10¹³,
• Котник и ван де Луне (2003) — 10¹⁴

Функция Мертенса для всех целых, не превосходящих $N$, может быть вычислена за время $O(N^{1+\varepsilon })$. Существует элементарный алгоритм, вычисляющий изолированное значение $M(N)$ за время $O(N^{2/3+\varepsilon })$.

Приложения

В элементарном доказательстве теоремы о распределении простых чисел Гельфонд доказал и использовал тот факт, что из $M(x)=o(x)$ следует $\pi (x)={\frac {x}{\ln {x}}}+o\left({\frac {x}{\ln {x}}}\right)$.

Литература

• Е. К. Титчмарш. Теория дзета-функции Римана. — ИЛ, 1953.

Ссылки

• Edwards, Harold Riemann's Zeta Function (неопр.). — Mineola, New York: Dover, 1974. — ISBN 0-486-41740-9.
• F. Mertens, «Uber eine zahlentheoretische Funktion», Akademie Wissenschaftlicher Wien Mathematik-Naturlich Kleine Sitzungsber, IIa 106, (1897) 761—830.
• A. M. Odlyzko and Herman te Riele, «Disproof of the Mertens Conjecture», Journal fur die reine und angewandte Mathematik 357, (1985) pp. 138—160.
• Weisstein, Eric W. Mertens function (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• последовательность A002321 в OEIS
• Deleglise, M. and Rivat, J. «Computing the Summation of the Mobius Function.» Experiment. Math. 5, 291—295, 1996. http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.em/1047565447