Функция Мертенса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории чисел функция Мертенса определяется для всех натуральных чисел n формулой

M(n) = \sum\limits_{k=1}^n \mu(k),

где \mu(k)~функция Мёбиуса. Функция Мертенса названа в честь Франца Мертенса.

Другими словами, M(n)~ — это разность между количеством свободных от квадратов чисел, не превосходящих n и содержащих чётное число множителей, и количеством таких же чисел, но содержащих нечётное число множителей.

Определение выше может быть расширено на все положительные действительные числа следующим образом:

M(x) = \sum\limits_{1\leqslant k \leqslant x} \mu(k).

Свойства[править | править вики-текст]

  • |M(x)|\leqslant x.
  • M(x) = o(x), что нетривиально, но доказано[1]
  • M(x) = M([x]), где [x] - целая часть числа x.
  • Серия тождеств, содержащих функцию Мертенса, получается единообразно на основе следующего факта:

Если c_n = \sum\limits_{d|n} \mu(n/d)\,a_d, то при x\geqslant 1 справедливо тождество:

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) a_k = C(x), где C(x) = \sum\limits_{n\leqslant x}c_n - сумматорная функция последовательности c_n.

В частности, отсюда получаются следующие тождества, справедливые при x\geqslant 1:

\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) = 1 - характеристическое свойство функции Мертенса;
\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) {\rm ln}\, k = \psi(x), где \psi(x) - вторая функция Чебышёва;
\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) |\mu(k)| = M(\sqrt{x});
\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) \Lambda(k) = {\rm ln}\, [x]!, где \Lambda(k) - функция Мангольдта;
\sum\limits_{k\leqslant x}M(x/k) \tau(k) = [x], где \tau(k) - количество делителей числа k.
  • Функция Мертенса имеет области медленного изменения как в положительную, так и в отрицательную сторону, проходя средние и экстремальные значения, осциллируя, по видимости, хаотическим образом, проходя через нуль при следующих значениях n:
2, 39, 40, 58, 65, 93, 101, 145, 149, 150, 159, 160, 163, 164, 166, 214, 231, 232, 235, 236, 238, 254, 329, 331, 332, 333, 353, 355, 356, 358, 362, 363, 364, 366, 393, 401, 403, 404, 405, 407, 408, 413, 414, 419, 420, 422, 423, 424, 425, 427 ... последовательность A028442 в OEIS.
  • Поскольку функция Мёбиуса может принимать только значения -1,0,1~, функция Мертенса изменяется медленно: для всех n верно, что |M(n)| \leqslant n~. Гипотеза Мертенса предполагала более сильное ограничение: для всех n абсолютное значение функции Мертенса не превосходит корня из n: |M(n)| \leqslant \sqrt{n}~. Однако, гипотеза Мертенса оказалась не верна, как показали в 1985 году Эндрю Одлызко (англ.) и Герман те Риеле (англ.). Гипотеза Римана эквивалентна более слабой гипотезе о росте M(n)~, а именно M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon})~. Поскольку наибольшие значения M(n)~ растут как минимум так же быстро, как и корень из n, это предположение довольно точно оценивает рост функции Мертенса. Здесь, O обозначает O большое.

Первые 160 значений M(n) последовательность A002321 в OEIS[править | править вики-текст]

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
M(n) 1 0 -1 -1 -2 -1 -2 -2 -2 -1 -2 -2 -3 -2 -1 -1 -2 -2 -3 -3
n 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
M(n) -2 -1 -2 -2 -2 -1 -1 -1 -2 -3 -4 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -1 0 0
n 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
M(n) -1 -2 -3 -3 -3 -2 -3 -3 -3 -3 -2 -2 -3 -3 -2 -2 -1 0 -1 -1
n 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
M(n) -2 -1 -1 -1 0 -1 -2 -2 -1 -2 -3 -3 -4 -3 -3 -3 -2 -3 -4 -4
n 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
M(n) -4 -3 -4 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -2 -1 -1 0 1 2 2 1 1 1 1
n 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120
M(n) 0 -1 -2 -2 -3 -2 -3 -3 -4 -5 -4 -4 -5 -6 -5 -5 -5 -4 -3 -3
n 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140
M(n) -3 -2 -1 -1 -1 -1 -2 -2 -1 -2 -3 -3 -2 -1 -1 -1 -2 -3 -4 -4
n 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160
M(n) -3 -2 -1 -1 0 1 1 1 0 0 -1 -1 -1 -2 -1 -1 -2 -1 0 0

Представления[править | править вики-текст]

Как интеграл[править | править вики-текст]

Используя произведение Эйлера, получаем, что

\frac{1}{\zeta(s)}= \prod\limits_{p} (1-p^{-s})=\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\mu(n)}{n^s},

где \zeta(s)~ - это Дзета-функция Римана, а произведение берётся по всем простым p. Тогда, используя ряд Дирихле в правой части с формулой Перрона, мы получаем:

 \frac{1}{2\pi i}\oint\limits_{C} \frac{x^{s}}{s\zeta(s)} ds = M(x),

где C - замкнутая кривая, окружающая все корни \zeta(s).~

Для обращения используется преобразование Меллина

\frac{1}{\zeta(s)} = s\int\limits_1^{+\infty} \frac{M(x)}{x^{s+1}}dx,

которое сохраняется при \Re(s)>1~.

Из предположения, что существуют только некратные нетривиальные корни \zeta (\rho)~, получается "точная формула" по теореме о вычетах:

\frac{1}{2 \pi i} \oint\limits_C \frac{x^s}{s \zeta (s)} ds = \sum\limits_{\rho} \frac{x^{\rho}}{\rho \zeta'(\rho)} - 2+\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n-1} (2\pi )^{2n}}{(2n)! n \zeta(2n+1)x^{2n}}.

Вейль выдвинул предположение, что функция Мертенса удовлетворяет приближённому функционально-дифференциальному уравнению

\frac{y(x)}{2}-\sum\limits_{r=1}^N \frac{B_{2r}}{(2r)!}D_t^{2r-1} y \left(\frac{x}{t+1}\right) + x\int_0^x \frac{y(u)}{u^{2}} du = x^{-1}H(\ln x),

где H(x)~ - функция Хевисайда, B_{2r}~ - числа Бернулли, и все производные по t вычисляются при t=0~.

Титчмарш (1960) доказал следовую формулу, включающую сумму с функцией Мёбиуса и нули дзета-функции Римана в форме

\sum\limits_{n=1}^{+\infty}\frac{\mu(n)}{\sqrt{n}}g(\ln n) = \sum\limits_t \frac{h(t)}{\zeta'(1/2+it)}+2\sum\limits_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n}(2\pi )^{2n}}{(2n)! \zeta(2n+1)}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}g(x) e^{-x(2n+1/2)} dx,

где t в сумме пробегает все мнимые части нетривиальных нулей, а (g, h)~ связаны преобразованием Фурье, так что

\pi g(x)= \int\limits_{0}^{+\infty}h(u)\cos(ux) du.

Как сумма через последовательность Фарея[править | править вики-текст]

Другая формула для функции Мертенса

M(n)= \sum\limits_{a\in \mathcal{F}_n} e^{2\pi i a},

где \mathcal{F}_n - последовательность Фарея порядка n.

Эта формула используется в доказательстве теореме Франеля Ландау[2].

Как определитель[править | править вики-текст]

M(n)~ равна определителю (0,1)-матрицы Редхеффера порядка n, в которой a_{ij}=1~ тогда и только тогда, когда j=1~ или i \mid j.

Матрица Редхеффера возникает при решении следующей системы линейных уравнений:

\begin{cases}
x_1 + x_2 + \dots + x_n = 1 \\
x_2 + x_4 + \dots + x_{2[n/2]} = 1 \\
x_3 + x_6 + \dots + x_{3[n/3]} = 1 \\
\dots \\
\sum\limits_{k\leqslant n,\,d|k}x_k = 1 \\
\dots\\
\end{cases}

Матрица системы имеет треугольный вид, на главной диагонали у неё стоят единицы, поэтому определитель системы равен единице и решение системы существует и единственно.

Решением системы являются числа x_1 = M(n),\,x_2 = M(n/2),\,x_3 = M(n/3),\,\dots,\,x_k = M(n/k),\,\dots,\,x_n = M(n/n) = 1, в силу характеристического свойства функции Мертенса: \sum\limits_{k\leqslant x} M(x/k) = 1

Решая систему по правилу Крамера, и учитывая, что определитель системы равен 1, получаем, что x_1, равный M(n), равен определителю матрицы, полученной из матрицы системы заменой первого столбца на столбец из единиц, а это и есть матрица Редхеффера порядка n.

Вычисление[править | править вики-текст]

Функция Мертенса была вычислена для возрастающих диапазонов n.

Person Year Limit
Mertens 1897 104
von Sterneck 1897 1.5·105
von Sterneck 1901 5·105
von Sterneck 1912 5·106
Neubauer 1963 108
Cohen and Dress 1979 7.8·109
Dress 1993 1012
Lioen and van de Lune 1994 1013
Kotnik and van de Lune 2003 1014

Функция Мертенса для всех целых, не превосходящих N, может быть вычислена за время O(N^{1+\varepsilon})~. Существует элементарный алгоритм, вычисляющий изолированное значение M(N)~ за время O(N^{2/3+\varepsilon})~.

Приложения[править | править вики-текст]

В своё элементарном доказательстве теоремы о распределении простых чисел Гельфонд доказывает и использует тот факт, что из M(x)=o(x) следует \pi(x) = \frac{x}{\ln{x}} + o\left({\frac{x}{\ln{x}}}\right).[1]

Замечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 А. О. Гельфанд, Ю. В. Линник. Элементарные методы в аналитической теории чисел. — Физматгиз, 1962.
  2. Edwards, Ch. 12.2

Литература[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]