Функция Мёбиуса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Функция Мёбиуса \mu(n) — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году.

Определение[править | править исходный текст]

\mu(n) определена для всех натуральных чисел n и принимает значения {-1,\;0,\;1} в зависимости от характера разложения числа n на простые сомножители:

  • \mu(n)=1, если n свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение n на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
  • \mu(n)=-1, если n свободно от квадратов и разложение n на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
  • \mu(n)=0, если n не свободно от квадратов.

По определению также полагают \mu(1)=1.

50 первых точек

Свойства и приложения[править | править исходный текст]

  • Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа n, не равного единице, равна нулю
\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n>1.\end{cases}

Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств, состоящих из нечётного числа элементов, равно количеству различных подмножеств, состоящих из чётного числа элементов, — факт, применяемый также в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.

  • \sum\limits_{k=1}^n \mu(k)\left[\frac{n}{k}\right]=1.
  • \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\mu(k)}{k}=0.
  • \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\mu(k)\ln k}{k}=-1.
M(n) = \sum_{k = 1}^n \mu(k).

Функция Мертенса в свою очередь тесно связана с задачей о нулях дзета-функции Римана, см. статью гипотеза Мертенса.

Обращение Мёбиуса[править | править исходный текст]

Первая формула обращения Мёбиуса[править | править исходный текст]

Для арифметических функций f и g,

g(n)=\sum_{d\,\mid\, n}f(d)

тогда и только тогда, когда

f(n)=\sum_{d\,\mid\, n}\mu(d)g(n/d).

Вторая формула обращения Мёбиуса[править | править исходный текст]

Для вещественнозначных функций f(x) и g(x), определённых при x\geqslant 1,

 g(x) = \sum_{n\leqslant x} f\left(\frac{x}{n}\right)

тогда и только тогда, когда

f(x) = \sum_{n\leqslant x}\mu(n) g\left(\frac{x}{n}\right).

Здесь сумма \sum_{n\leqslant x} интерпретируется как \sum_{n=1}^{\lfloor x\rfloor}.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Виноградов И.М. Основы теории чисел. — 9-е изд. — М., 1981.
  • Холл М. Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: Мир, 1970. — 424 с.

Ссылки[править | править исходный текст]