Функция Мёбиуса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Функция Мёбиуса  — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году.

Определение[править | править вики-текст]

определена для всех натуральных чисел и принимает значения в зависимости от характера разложения числа на простые сомножители:

  • , если свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
  • , если свободно от квадратов и разложение на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
  • , если не свободно от квадратов.

По определению также полагают .

50 первых точек

Свойства и приложения[править | править вики-текст]

  • Функция Мёбиуса мультипликативна: для любых взаимно простых чисел и выполняется равенство .
  • Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа , не равного единице, равна нулю

Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств, состоящих из нечётного числа элементов, равно количеству различных подмножеств, состоящих из чётного числа элементов, — факт, применяемый также в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.

  • где n - положительное целое число.
  • Функция Мёбиуса тесно связана с дзета-функцией Римана. Так, через функцию Мёбиуса выражаются коэффициенты ряда Дирихле функции, мультипликативно обратной для дзета-функции Римана:
.

Ряд абсолютно сходится при , на прямой - сходится условно, в области утверждение об условной сходимости ряда эквивалентно гипотезе Римана, а при ряд заведомо не сходится, даже условно.

При справедлива также формула:

  • где p - простое число.
  • Справедливы асимптотические соотношения:
при
,

из которых следует, что существует асимптотическая плотность распределения значений функции Мёбиуса. Линейная плотность множества её нулей равна , а плотность множества единиц (или минус единиц) - . На этом факте основаны теоретико-вероятностные подходы к изучению функции Мёбиуса.

Обращение Мёбиуса[править | править вики-текст]

Первая формула обращения Мёбиуса[править | править вики-текст]

Для арифметических функций и ,

тогда и только тогда, когда

.

Вторая формула обращения Мёбиуса[править | править вики-текст]

Для вещественнозначных функций и , определённых при ,

тогда и только тогда, когда

.

Здесь сумма интерпретируется как .

Обобщённая функция Мёбиуса[править | править вики-текст]

Несмотря на кажущуюся неестественность определения функции Мёбиуса, его природа может стать ясна при рассмотрении класса функций с аналогичными свойствами обращаемости, вводимых на произвольных частично упорядоченных множествах.

Пусть задано некоторое частично упорядоченное множество с отношением сравнения . Будем считать, что .

Определение[править | править вики-текст]

Обобщённая функция Мёбиуса рекуррентно определяется соотношением.

Формула обращения[править | править вики-текст]

Пусть функции g и f принимают вещественные значения на множестве и выполнено условие .

Тогда

Связь с классической функцией Мёбиуса[править | править вики-текст]

Если взять в качестве множество натуральных чисел, приняв за отношение отношение , то получим , где - классическая функция Мёбиуса.

Это, в частности, означает, что , и далее определение классической функции Мёбиуса следует по индукции из определения обобщённой функции и тождества , так как суммирование по всем делителям числа, не делимого на полный квадрат, можно рассматривать как суммирование по булеану его простых множителей, перемножаемых в каждом элементе булеана.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Виноградов И.М. Основы теории чисел. — 9-е изд. — М., 1981.
  • Холл М. Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: Мир, 1970. — 424 с.

Ссылки[править | править вики-текст]