Функция Мёбиуса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Функция Мёбиуса \mu(n) — мультипликативная арифметическая функция, применяемая в теории чисел и комбинаторике, названа в честь немецкого математика Мёбиуса, который впервые рассмотрел её в 1831 году.

Определение[править | править вики-текст]

\mu(n) определена для всех натуральных чисел n и принимает значения {-1,\;0,\;1} в зависимости от характера разложения числа n на простые сомножители:

  • \mu(n)=1, если n свободно от квадратов (то есть не делится на квадрат никакого простого числа) и разложение n на простые множители состоит из чётного числа сомножителей;
  • \mu(n)=-1, если n свободно от квадратов и разложение n на простые множители состоит из нечётного числа сомножителей;
  • \mu(n)=0, если n не свободно от квадратов.

По определению также полагают \mu(1)=1.

50 первых точек

Свойства и приложения[править | править вики-текст]

  • Сумма значений функции Мёбиуса по всем делителям целого числа n, не равного единице, равна нулю
\sum_{d | n} \mu(d) = \begin{cases} 1,&n=1,\\ 0,&n>1.\end{cases}

Это, в частности, следует из того, что для всякого непустого конечного множества количество различных подмножеств, состоящих из нечётного числа элементов, равно количеству различных подмножеств, состоящих из чётного числа элементов, — факт, применяемый также в доказательстве формулы обращения Мёбиуса.

  • \sum\limits_{k=1}^n \mu(k)\left[\frac{n}{k}\right]=1.
  • \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\mu(k n)}{k}=0, где n - положительное целое число.
  • \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{\mu(k)\ln k}{k}=-1.
  • Функция Мёбиуса тесно связана с дзета-функцией Римана. Так, через функцию Мёбиуса выражаются коэффициенты ряда Дирихле функции, мультипликативно обратной для дзета-функции Римана:
\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^{s}} = \frac{1}{\zeta(s)}.

Ряд абсолютно сходится при {\rm Re}\, s >1, на прямой {\rm Re}\, s = 1 - сходится условно, в области 1/2 < {\rm Re}\, s < 1 утверждение об условной сходимости ряда эквивалентно гипотезе Римана, а при {\rm Re}\, s < 1/2 ряд заведомо не сходится, даже условно.

При {\rm Re}\, s >1 справедлива также формула:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{|\mu(n)|}{n^{s}} = \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)}
  • \sum\limits_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(p n)}{n^{s}} = \frac{p^{s}}{(1-p^{s}) \zeta(s)}, где p - простое число.
M(n) = \sum_{k = 1}^n \mu(k).
  • Справедливы асимптотические соотношения:
\frac{1}{x}\sum\limits_{n\leq x} \mu(n) = o(1) при x\rightarrow \infty
\frac{1}{x}\sum\limits_{n\leq x} |\mu(n)| = \frac{1}{\zeta(2)} + O(\frac{1}{\sqrt x}) ,

из которых следует, что существует асимптотическая плотность распределения значений функции Мёбиуса. Линейная плотность множества её нулей равна 1 - 1/\zeta(2) = 0,3920729, а плотность множества единиц (или минус единиц) - 1/2\zeta(2) = 0,30396355. На этом факте основаны теоретико-вероятностные подходы к изучению функции Мёбиуса.

Обращение Мёбиуса[править | править вики-текст]

Первая формула обращения Мёбиуса[править | править вики-текст]

Для арифметических функций f и g,

g(n)=\sum_{d\,\mid\, n}f(d)

тогда и только тогда, когда

f(n)=\sum_{d\,\mid\, n}\mu(d)g(n/d).

Вторая формула обращения Мёбиуса[править | править вики-текст]

Для вещественнозначных функций f(x) и g(x), определённых при x\geqslant 1,

 g(x) = \sum_{n\leqslant x} f\left(\frac{x}{n}\right)

тогда и только тогда, когда

f(x) = \sum_{n\leqslant x}\mu(n) g\left(\frac{x}{n}\right).

Здесь сумма \sum_{n\leqslant x} интерпретируется как \sum_{n=1}^{\lfloor x\rfloor}.

Обобщённая функция Мёбиуса[править | править вики-текст]

Несмотря на кажущуюся неестественность определения функции Мёбиуса, его природа может стать ясна при рассмотрении класса функций с аналогичными свойствами обращаемости, вводимых на произвольных частично упорядоченных множествах.

Пусть задано некоторое частично упорядоченное множество с отношением сравнения \prec. Будем считать, что a \preccurlyeq b \iff a \prec b \lor a = b.

Определение[править | править вики-текст]

Обобщённая функция Мёбиуса рекуррентно опредляется соотношением.

{\mu_A^*}(a,b) = \begin{cases}1, & a=b \\ -\sum \limits_{a \preccurlyeq z \prec b} {{\mu_A^*}(a,z)}, & a \prec b \\ 0, & b \prec a\end{cases}

Формула обращения[править | править вики-текст]

Пусть функции g и f принимают вещественные значения на множестве A и выполнено условие g(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {f(y)}.

Тогда f(x) = \sum \limits_{y \preccurlyeq x} {{\mu_A^*}(y,x) g(y)}

Связь с классической функцией Мёбиуса[править | править вики-текст]

Если взять в качестве A множество натуральных чисел, приняв за отношение a \prec b отношение a \mid b \land a \not = b, то получим {\mu_{\mathbb N}^*}(a,b) = \mu\left({\frac{b}{a}}\right), где \mu - классическая формула Мёбиуса.

Это, в частности означает, что \mu(n)={\mu_{\mathbb N}^*}(1,n), и далее определение классической функции Мёбиуса следует по индукции из определения обобщённой функции и тождества \sum \limits_{k=1}^{n} {(-1)^k C_n^k} = 0, так как суммирование по всем делителям числа, не делимого на полный квадрат, можно рассматривать как суммирование по булеану его простых множителей, перемножаемых в каждом элементе булеана.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Виноградов И.М. Основы теории чисел. — 9-е изд. — М., 1981.
  • Холл М. Комбинаторика = Combinatorial Theory. — М.: Мир, 1970. — 424 с.

Ссылки[править | править вики-текст]