Функция Эйри

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График функций Ai(x) (красный цвет) и Bi(x) (синий цвет)

Фу́нкция Э́йри — частное решение дифференциального уравнения

называемого уравнением Эйри (впервые рассмотрено и исследовано в 1838 году британским астрономом Джорджем Бидделем Эйри)[1]. Это — простейшее дифференциальное уравнение, имеющее на действительной оси точку, в которой вид решения меняется с колеблющегося на экспоненциальный.

Обычно термин «функция Эйри» применяется к двум специальным функциям — функции Эйри 1-го рода (которая при имеет колебательное поведение с постепенным уменьшением амплитуды колебаний, а при монотонно убывает по экспоненциальному закону) и функции Эйри 2-го рода (которая при также колеблется с постепенным уменьшением амплитуды колебаний, а при монотонно растёт по экспоненциальному закону); остальные частные решения уравнения Эйри представимы как линейные комбинации двух данных функций[2]. Обозначение Ai для первой из этих функций предложил в 1928 году Гарольд Джеффрис, использовавший первые две буквы фамилии Эйри (англ. Airy)[3]. В 1946 году Джеффри Миллер[en] добавил обозначение Bi для функции Эйри 2-го рода, также ставшее стандартным[4].

Функция Эйри является решением уравнения Шрёдингера для частицы в треугольной потенциальной яме.

Определение[править | править вики-текст]

Для действительных функция Эйри 1-го рода определяется следующим несобственным интегралом[1]:

Контуры интегрирования при вычислении Ai(z)

Выполняя дифференцирование под знаком интеграла, убеждаемся, что полученная функция действительно удовлетворяет уравнению Эйри

Другим линейно независимым частным решением данного уравнения является функция Эйри 2-го рода у которой при колебания имеют ту же амплитуду, что и у но отличаются по фазе на [5]. Для действительных функция Эйри 2-го рода выражается интегралом[4]:

Для комплексных функция Эйри определяется следующим образом:

где контур может быть одним из представленных на рисунке[6]. Несмотря на то, что существуют три контура интегрирования, линейно независимых решений уравнения Эйри остается по-прежнему два, так как сумма интегралов по этим трём контурам равна нулю.

Функция при произвольном комплексном связана с функцией Эйри 1-го рода соотношением[1]:

Свойства[править | править вики-текст]

В точке функции и и их первые производные имеют такие значения:

где  — гамма-функция[7]. Отсюда следует, что при вронскиан функций и равен .

При положительных  — положительная выпуклая функция, убывающая экспоненциально к 0, а  — положительная выпуклая функция, возрастающая экспоненциально. При отрицательных и колеблются вокруг нуля с возрастающей частотой и убывающей амплитудой. Это подтверждается асимптотическими выражениями для функций Эйри.

Асимптотические выражения[править | править вики-текст]

При стремящемся к [7]:

Комплексный аргумент[править | править вики-текст]

Функция Эйри может быть продолжена на комплексную плоскость по формуле

где интеграл берётся по контуру начинающемуся в точке на бесконечности с аргументом -π/3 и заканчивающимся в точке на бесконечности с аргументом π/3. Можно пойти с другой стороны, используя дифференциальное уравнение для продолжения Ai(x) и Bi(x) до целых функций на комплексной плоскости.

Асимптотическая формула для Ai(x) остаётся в силе на комплексной плоскости, если брать главное значение x2/3 и x не лежит на отрицательной действительной полуоси. Формула для Bi(x) верна, если x лежит в секторе {xC : |arg x| < (1/3)π−δ} для некоторого положительного δ. Формулы для Ai(−x) и Bi(−x) верны, если x лежит в секторе {xC : |arg x| < (2/3)π−δ}.

Из асимптотического поведения функций Эйри 1-го и 2-го рода следует, что они обе имеют бесконечно много нулей на отрицательной вещественной полуоси. У функции Ai(x) на комплексной плоскости нет других нулей, а функция Bi(x) имеет бесконечно много нулей в секторе {zC : (1/3)π < |arg z| < (1/2)π}.

Связь с другими специальными функциями[править | править вики-текст]

Для положительных значений аргумента функции Эйри связаны с модифицированными функциями Бесселя:

где I±1/3 и K1/3 — решения уравнения .

Для отрицательных значений аргумента функции Эйри связаны с функциями Бесселя:

где J±1/3 — решения уравнения .

Функции Скорера являются решениями уравнения Они также могут быть выражены через функции Эйри:

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 Федорюк М. В.  Эйри функции // Математическая энциклопедия. Т. 5 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1985. — 1248 стб. — Стб. 939—941.
  2. Попов и Теслер, 1984, с. 381—382.
  3. Vallée O., Soares M.  Airy Functions and Applications to Physics. — London: Imperial College Press, 2004. — x + 194 p. — ISBN 1-86094-478-7. — P. 4.
  4. 1 2 Airy Function Ai: Introduction to the Airy functions. // The Wolfram Functions Site. Проверено 12 февраля 2016.
  5. Попов и Теслер, 1984, с. 385.
  6. Ландау и Лифшиц, 1974, с. 736.
  7. 1 2 Попов и Теслер, 1984, с. 386.

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]