Функция Эйри

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График функций Ai(x) (красный цвет) и Bi(x) (синий цвет)

Фу́нкция Э́йри — частное решение дифференциального уравнения

y'' - xy \,=\, 0\,,

называемого уравнением Эйри (впервые рассмотрено и исследовано в 1838 году британским астрономом Джорджем Бидделем Эйри)[1]. Это — простейшее дифференциальное уравнение, имеющее на действительной оси точку, в которой вид решения меняется с колеблющегося на экспоненциальный.

Обычно термин «функция Эйри» применяется к двум специальным функциям — функции Эйри 1-го рода \operatorname{Ai}\,(x) (которая при x \rightarrow -\infty имеет колебательное поведение с постепенным уменьшением амплитуды колебаний, а при x \rightarrow +\infty монотонно убывает по экспоненциальному закону) и функции Эйри 2-го рода \operatorname{Bi}\,(x) (которая при x \rightarrow -\infty также колеблется с постепенным уменьшением амплитуды колебаний, а при x \rightarrow +\infty монотонно растёт по экспоненциальному закону); остальные частные решения уравнения Эйри представимы как линейные комбинации двух данных функций[2]. Обозначение Ai для первой из этих функций предложил в 1828 году Гарольд Джеффрис, использовавший первые две буквы фамилии Эйри (англ. Airy)[3]. В 1946 году Джеффри Миллер[en] добавил обозначение Bi для функции Эйри 2-го рода, также ставшее стандартным[4].

Функция Эйри является решением уравнения Шрёдингера для частицы в треугольной потенциальной яме.

Определение[править | править вики-текст]

Для действительных x функция Эйри 1-го рода определяется следующим несобственным интегралом[1]:

\operatorname{Ai}\,(x) \,=\, \frac{1}{\pi} \int\limits_0^\infty\!\cos\left(\frac{t^3}{3} + xt\right)\, dt\,,
Контуры интегрирования при вычислении Ai(z)

Выполняя дифференцирование под знаком интеграла, убеждаемся, что полученная функция действительно удовлетворяет уравнению Эйри

y'' - xy \,=\, 0\,.

Другим линейно независимым частным решением данного уравнения является функция Эйри 2-го рода \operatorname{Bi}\,(x), у которой при x \rightarrow -\infty колебания имеют ту же амплитуду, что и у \operatorname{Ai}\,(x), но отличаются по фазе на \pi/2[5]. Для действительных x функция Эйри 2-го рода выражается интегралом[4]:

\operatorname{Bi}\,(x) \,=\, \frac{1}{\pi} \int_0^\infty \left[\exp\left(-\tfrac{t^3}{3} + xt\right) + \sin\left(\tfrac{t^3}{3} + xt\right)\,\right]\, dt\,.

Для комплексных z функция Эйри \operatorname{Ai}\,(z) определяется следующим образом:

\operatorname{Ai}\,(z) \,=\, \int\limits_{\gamma_k}\!\exp \left(pz - \frac{p^3}{3}\right)\,dp\,,

где контур  \gamma_k может быть одним из представленных на рисунке[6]. Несмотря на то, что существуют три контура интегрирования, линейно независимых решений уравнения Эйри остается по-прежнему два, так как сумма интегралов по этим трём контурам равна нулю.

Функция \operatorname{Bi}\,(z) при произвольном комплексном z связана с функцией Эйри 1-го рода соотношением[1]:

\operatorname{Bi}\,(z) \,=\, i\omega^2\,\operatorname{Ai}\,(\omega^2 z)- i\omega\,\operatorname{Ai}\,(\omega z)\,, \quad \omega = e^{2\pi{i/3}}\,.

Свойства[править | править вики-текст]

В точке x=0 функции \operatorname{Ai}\,(x) и \operatorname{Bi}\,(x) и их первые производные имеют такие значения:

\begin{align}
 \operatorname{Ai}\,(0) \,=\, \frac{1}{3^{2/3}\,\Gamma\left(\frac23\right)} \,\approx\, 0,355\,028\,053\,887\,817\,, & \quad \operatorname{Ai}'\,(0) \,=\, -\frac{1}{3^{1/3}\,\Gamma\left(\frac13\right)}\,\approx\, 0,258\,819\,403\,792\,807\,, \\
 \operatorname{Bi}\,(0) \,=\, \frac{1}{3^{1/6}\,\Gamma\left(\frac23\right)} \,=\, \operatorname{Ai}\,(0)\,\sqrt{3}\,, & \quad \operatorname{Bi}'\,(0) \,=\, \frac{3^{1/6}}{\Gamma\left(\frac13\right)} \,=\, -\operatorname{Ai}'\,(0)\,\sqrt{3}\,.
\end{align}

где \Gamma — гамма-функция[7]. Отсюда следует, что при x=0 вронскиан функций \operatorname{Ai}\,(x) и \operatorname{Bi}\,(x) равен 1/\pi.

При положительных x \operatorname{Ai}\,(x) — положительная выпуклая функция, убывающая экспоненциально к 0, а \operatorname{Bi}\,(x) — положительная выпуклая функция, возрастающая экспоненциально. При отрицательных x \operatorname{Ai}\,(x) и \operatorname{Bi}\,(x) колеблются вокруг нуля с возрастающей частотой и убывающей амплитудой. Это подтверждается асимптотическими выражениями для функций Эйри.

Асимптотические выражения[править | править вики-текст]

При x, стремящемся к +\infty[7]:

\begin{align}
 \mathrm{Ai}\,(x) &{}\sim \frac{e^{-\frac23x^{3/2}}}{2\sqrt\pi\,x^{1/4}} \\
 \mathrm{Bi}\,(x) &{}\sim \frac{e^{\frac23x^{3/2}}}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}.
\end{align}
\begin{align}
 \mathrm{Ai}\,(-x) &{}\sim \frac{\sin(\frac23x^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}} \\
 \mathrm{Bi}\,(-x) &{}\sim \frac{\cos(\frac23x^{3/2}+\frac14\pi)}{\sqrt\pi\,x^{1/4}}. 
\end{align}

Комплексный аргумент[править | править вики-текст]

Функция Эйри может быть продолжена на комплексную плоскость по формуле

\mathrm{Ai}\,(z) \,=\, \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{C} \exp\left(\frac{t^3}{3} - zt\right)\, dt\,,

где интеграл берётся по контуру C, начинающемуся в точке на бесконечности с аргументом -π/3 и заканчивающимся в точке на бесконечности с аргументом π/3. Можно пойти с другой стороны, используя дифференциальное уравнение y'' - xy = 0 для продолжения Ai(x) и Bi(x) до целых функций на комплексной плоскости.

Асимптотическая формула для Ai(x) остаётся в силе на комплексной плоскости, если брать главное значение x2/3 и x не лежит на отрицательной действительной полуоси. Формула для Bi(x) верна, если x лежит в секторе {xC : |arg x| < (1/3)π−δ} для некоторого положительного δ. Формулы для Ai(−x) и Bi(−x) верны, если x лежит в секторе {xC : |arg x| < (2/3)π−δ}.

Из асимптотического поведения функций Эйри 1-го и 2-го рода следует, что они обе имеют бесконечно много нулей на отрицательной вещественной полуоси. У функции Ai(x) на комплексной плоскости нет других нулей, а функция Bi(x) имеет бесконечно много нулей в секторе {zC : (1/3)π < |arg z| < (1/2)π}.

Связь с другими специальными функциями[править | править вики-текст]

Для положительных значений аргумента функции Эйри связаны с модифицированными функциями Бесселя:

\begin{align}
 \mathrm{Ai}\,(x) \,=\, \frac1\pi \sqrt{\frac13 x} \, K_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\,, \\
 \mathrm{Bi}\,(x) \,=\, \sqrt{\frac13 x} \left(I_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) + I_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right)\,.
\end{align}

где I±1/3 и K1/3 — решения уравнения x^2y'' + xy' - (x^2 + 1/9)y = 0.

Для отрицательных значений аргумента функции Эйри связаны с функциями Бесселя:

\begin{align}
 \mathrm{Ai}\,(-x) \,=\, \frac13 \sqrt{x} \left(J_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) + J_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right)\,, \\
 \mathrm{Bi}\,(-x) \,=\, \sqrt{\frac13 x} \left(J_{-1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right) - J_{1/3}\left(\frac23 x^{3/2}\right)\right)\,. \end{align}

где J±1/3 — решения уравнения x^2y'' + xy' + (x^2 - 1/9)y = 0.

Функции Скорера являются решениями уравнения y'' - xy = 1/\pi. Они также могут быть выражены через функции Эйри:

\begin{align}
 \mathrm{Gi}\,(x) \,=\, \mathrm{Bi}(x) \int\limits_x^\infty \mathrm{Ai}(t) \, dt + \mathrm{Ai}(x) \int\limits_0^x \mathrm{Bi}(t) \, dt\,, \\
 \mathrm{Hi}\,(x) \,=\, \mathrm{Bi}(x) \int\limits_{-\infty}^x \mathrm{Ai}(t) \, dt - \mathrm{Ai}(x) \int\limits_{-\infty}^x \mathrm{Bi}(t) \, dt\,. \end{align}

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 3 Федорюк М. В.  Эйри функции // Математическая энциклопедия. Т. 5 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1985. — 1248 стб. — Стб. 939—941.
  2. Попов и Теслер, 1984, с. 381—382.
  3. Vallée O., Soares M.  Airy Functions and Applications to Physics. — London: Imperial College Press, 2004. — x + 194 p. — ISBN 1-86094-478-7. — P. 4.
  4. 1 2 Airy Function Ai: Introduction to the Airy functions. // The Wolfram Functions Site. Проверено 12 февраля 2016.
  5. Попов и Теслер, 1984, с. 385.
  6. Ландау и Лифшиц, 1974, с. 736.
  7. 1 2 Попов и Теслер, 1984, с. 386.

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]