Характеристика кольца

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Характеристика (кольца или поля) — числовая величина, используемая в общей алгебре для описания некоторых свойств этих алгебраических структур.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть  — произвольное кольцо. Если существует такое целое положительное число , что для каждого элемента выполняется равенство

,

то наименьшее из таких чисел называется характеристикой кольца и обозначается символом . При этом кольцо называется кольцом положительной характеристики .

Если же таких чисел не существует, то полагают и называют кольцом характеристики нуль.

В случае, если кольцо содержит единицу, определение несколько упрощается. В этом случае характеристику обычно определяют как наименьшее ненулевое натуральное число такое что если же такого не существует, то характеристика равна нулю.

Примеры[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

  • Тривиальное кольцо с единственным элементом  — единственное кольцо с характеристикой .
  • Если нетривиальное кольцо с единицей и без делителей нуля имеет положительную характеристику , то она является простым числом. Следовательно, характеристика любого поля есть либо , либо простое число . В первом случае поле содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю рациональных чисел , во втором случае поле содержит в качестве подполя поле, изоморфное полю вычетов . В обоих случаях это подполе называется простым полем (содержащимся в ).
  • Характеристика любого поля — простое число или нуль. Характеристика конечного поля всегда положительна, однако из того, что характеристика поля положительна, не следует, что поле конечно. В качестве контрпримеров можно привести поле рациональных функций с коэффициентами в и алгебраическое замыкание поля .
  • Если  — коммутативное кольцо простой характеристики , то для всех , . Для таких колец можно определить эндоморфизм Фробениуса.

Литература[править | править вики-текст]

  • Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
  • Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
  • Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.