Характеристическая функция случайной величины

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Характеристи́ческая фу́нкция случа́йной величины́ — один из способов задания распределения. Характеристические функции могут быть удобнее в тех случаях, когда, например, плотность или функция распределения имеют очень сложный вид. Также характеристические функции являются удобным инструментом для изучения вопросов слабой сходимости (сходимости по распределению). В теорию характеристических функций внесли большой вклад Ю.В. Линник, И.В. Островский, С.Р. Рао, Б. Рамачандран.

Определение[править | править код]

Пусть есть случайная величина с распределением . Тогда характеристическая функция задаётся формулой:

.

Пользуясь формулами для вычисления математического ожидания, определение характеристической функции можно переписать в виде:

,

то есть характеристическая функция — это обратное преобразование Фурье распределения случайной величины.

Если случайная величина принимает значения в произвольном гильбертовом пространстве , то её характеристическая функция имеет вид:

,

где обозначает скалярное произведение в .

Дискретные и абсолютно непрерывные случайные величины[править | править код]

Если случайная величина дискретна, то есть , то

.

Пример. Пусть имеет распределение Бернулли. Тогда

.

Если случайная величина абсолютно непрерывна, то есть она имеет плотность , то

.

Пример. Пусть имеет стандартное непрерывное равномерное распределение. Тогда

.

Свойства характеристических функций[править | править код]

  • Характеристическая функция однозначно определяет распределение. Пусть есть две случайные величины, и . Тогда . В частности, если обе величины абсолютно непрерывны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение плотностей. Если обе случайные величины дискретны, то совпадение характеристических функций влечёт совпадение функций вероятности.
  • Характеристическая функция всегда ограничена:
.
  • Характеристическая функция в нуле равна единице:
.
  • Характеристическая функция всегда равномерно непрерывна: .
  • Характеристическая функция как функция случайной величины однородна:
.
  • Характеристическая функция суммы независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций. Пусть суть независимые случайные величины. Обозначим . Тогда
.
  • Характеристическая функция эрмитова: для всех вещественных верно равенство , где означает комплексно сопряжённую с функцию[1].
  • Теорема обращения (Леви). Пусть - функция распределения, а - её характеристическая функция. Если и - точки непрерывности , то
  • Характеристическая функция положительно определена: при каждом целом для любых вещественных чисел и любых комплексных чисел выполняется неравенство [2]. Здесь означает комплексно сопряжённое к число.

Вычисление моментов[править | править код]

Если случайная величина имеет начальный -ый момент, то характеристическая функция имеет непрерывную производную, то есть , и более того:

.

Обратное преобразование Фурье[править | править код]

Пусть дана случайная величина , чья характеристическая функция равна . Тогда

  • если дискретна и принимает целые значения, то
;
  • если абсолютно непрерывна, и — её плотность, то
.

Достаточные условия[править | править код]

Чтобы функция  была характеристической функцией какой-то случайной величины, достаточно, чтобы  была неотрицательной, чётной, непрерывной, выпуклой вниз функцией, и при (теорема Титчмарша — Пойа).

Необходимые и достаточные условия[править | править код]

Пусть - непрерывная функция и . Для того, чтобы функция была характеристической, необходимо и достаточно, чтобы она была положительно определённой функцией, то есть при каждом целом для любых вещественных чисел и любых комплексных чисел выполняется неравенство (Теорема Бохнера — Хинчина). Здесь означает комплексно сопряжённое к число[2].

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Б. Рамачандран Теория характеристических функций, М., Наука, 1975
  2. 1 2 Королюк В. С., Портенко Н. И., Скороход А. В., Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. — М., Наука, 1985. — с. 65

Литература[править | править код]

  • Линник Ю.В., Островский И.В. Разложения случайных величин и векторов, Наука, М., 1972.