Характеристический многочлен матрицы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Характеристический многочлен матрицы — это многочлен, определяющий её собственные значения.

Характеристический многочлен графа — это характеристический многочлен его матрицы смежности.

Определение[править | править вики-текст]

Для данной матрицы , , где  — единичная матрица, является многочленом от , который называется характеристическим многочленом матрицы (иногда также «вековым уравнением» (англ. secular equation)).

Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение имеет ненулевое решение, то , значит матрица вырождена и её определитель равен нулю.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Матрицу называют характеристической матрицей матрицы .
  • Уравнение называют характеристическим уравнением матрицы .

Свойства[править | править вики-текст]

  • Для матрицы , характеристический многочлен имеет степень .
  • Все корни характеристического многочлена матрицы являются её собственными значениями.
  • Теорема Гамильтона — Кэли: если  — характеристический многочлен матрицы , то .
  • Характеристические многочлены подобных матриц совпадают: .
  • Если и  — две -матрицы, то . В частности, отсюда вытекает, что след их произведения и .
  • В более общем виде, если  — -матрица, а  — -матрица, причем , так что и  — квадратные матрицы размеров и соответственно, то
.

Ссылки[править | править вики-текст]