Характер биквадратичного вычета

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Характер биквадратичного вычетатеоретико-числовая функция двух аргументов, являющаяся частным случаем символа степенного вычета. Также является характером в простом поле.

Характер биквадратичного вычета является аналогом символа Лежандра, и для его вычисления используется биквадратичный закон взаимности, являющийся аналогом квадратичного закона взаимности.

Определение[править | править вики-текст]

Рассмотрим D=Z[i]кольцо целых гауссовых чисел, то есть чисел вида , где a и bцелые числа.

Пусть - простое в кольце D, с нормой . Характер биквадратичного вычета определяется следующим образом:

  • , если делится на .
  • , если не делится на и .
  • Во всех остальных случаях - одно из значений , лежащее в классе вычетов (такое значение однозначно определено).

Биквадратичный закон взаимности[править | править вики-текст]

Назовём , не являющееся единицей, примарным, если оно сравнимо с 1 по модулю идеала . При этом неединица примарна тогда и только тогда, когда , или , .

Пусть и - взаимно простые примарные элементы в D, тогда

Другие свойства характера биквадратичного вычета[править | править вики-текст]

  • тогда и только тогда, когда сравнение разрешимо, то есть тогда и только тогда, когда - биквадратичный вычет
  • Мультипликативность:
  • Периодичность: если , то
  • Если - простое примарное, то

Список литературы[править | править вики-текст]

  • Franz Lemmermeyer. Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein. — Springer Verlag, 2000. — ISBN 3-540-66957-4.