Характер (теория групп)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Группа (математика)
Rubik's cube.svg
Теория групп
См. также: Портал:Физика

Хара́ктер — мультипликативная комплекснозначная функция на группе. Иначе говоря, если G — группа, то характер — это гомоморфизм из G в мультипликативную группу поля (обычно поля комплексных чисел).

Иногда рассматриваются только унитарные характеры — гомоморфизмы в мультипликативную группу поля, образ которых лежит на единичной окружности, или, в случае комплексных чисел, гомоморфизмы в U(1). Все прочие гомоморфизмы в k^* называются в таком случае квазихарактерами.

Связанные определения[править | править исходный текст]

Если f — конечномерное представление группы G, то характер этого представления — это функция из G во множество комплексных чисел, заданная следом линейного преобразования, соответствующего элементу G. Вообще говоря, след не является гомоморфизмом, а множество следов не образует группы. Изучением представлений через их характеры занимается теория характеров.

Характер топологической группы определяется как непрерывный гомоморфизм в мультипликативную группу поля. Соответственно, характер алгебраической группы — это рациональный гомоморфизм в k^*.

Свойства[править | править исходный текст]

Для произвольной группы G множество характеров \mathrm{Ch}(G) образует абелеву группу с операцией

\chi_a\cdot\chi_b=\chi_{ab}.

Эту группу называют группой характеров.

Характеры линейно независимы, то есть если \chi_1,\chi_2, \ldots , \chi_n  — различные характеры группы G, то из равенства a_1\chi_1+a_2\chi_2 + \cdots + a_n \chi_n = 0 следует, что a_1=a_2=\cdots=a_n=0.

Вариации и обобщения[править | править исходный текст]

Если A — ассоциативная алгебра над полем k, характер A — это ненулевой гомоморфизм алгебры A в k. Если при этом A — звёздная алгебра,[уточнить] то характер является звёздным гомоморфизмом в комплексные числа.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Кириллов А. А. Элементы теории представлений. — 2-е. — М.: Наука, 1978. — 343 с.
  • Наймарк М. А. Теория представления групп. — М., 1978. — 560 с.


-