Хаусдорфово пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Хаусдорфово пространство — топологическое пространство, удовлетворяющее сильной аксиоме отделимости T2. Названо в честь Феликса Хаусдорфа — одного из основоположников общей топологии. Его первоначальное определение топологического пространства включало в себя требование, которое теперь называется хаусдорфовостью. Иногда для обозначения структуры хаусдорфового топологического пространства на множестве применяется термин хаусдорфова топология.

Определение[править | править код]

Hausdorff space.svg

Топологическое пространство называется хаусдорфовым, если любые две различных точки , из обладают непересекающимися окрестностями , .

Примеры и контрпримеры[править | править код]

Хаусдорфовыми являются все метрические пространства и метризуемые пространства, в частности: евклидовы пространства , многообразия, большинство используемых в анализе бесконечномерных функциональных пространств, таких, как или , .

Если топологическая группа является T0-пространством, то она хаусдорфова. Если T0 не выполнено, то факторизация по замыканию нейтрального элемента группы даст хаусдорфово пространство[1]. По этой причине некоторые источники включают хаусдорфовость в определение топологической группы.

Простейший (и важный) пример нехаусдорфова пространства — связное двоеточие, а в более общем случае — алгебры Гейтинга. Не является хаусдорфовой, например, топология Зарисского на алгебраическом многообразии. Нехаусдорфов, вообще говоря, спектр кольца.

Свойства[править | править код]

  • Единственность предела последовательности (в более общем случае — фильтра), если таковой предел существует.
  • Свойство, равносильное определению хаусдорфовости топологии, — замкнутость диагонали в декартовом квадрате пространства .
  • В хаусдорфовом пространстве замкнуты все его точки (то есть одноточечные множества).
  • Подпространство и декартово произведение хаусдорфовых пространств тоже хаусдорфовы.
  • Вообще говоря, хаусдорфовость не передаётся факторпространствам.
  • Компактное хаусдорфово пространство нормально и оно метризуемо тогда и только тогда, когда имеет счётную базу топологии.

Примечания[править | править код]

  1. D. Ramakrishnan and R. Valenza. Fourier Analysis on Number Fields. — Springer-Verlag, 1999. — (Graduate Texts in Mathematics).

Литература[править | править код]