Целые числа Эйзенштейна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Целые Эйзенштейна как точки треугольной решетки на комплексной плоскости

В математике целыми числами Эйзенштейна (названы в честь Фердинанда Эйзенштейна), известные также[1] под именем числа Эйлера (в честь Леонарда Эйлера), называются комплексные числа вида

где a и b — целые и

кубический невещественный корень из единицы. Целые Эйзенштейна формируют треугольную решетку на компле́ксной плоскости. (Аналогично тому, как гауссовы целые числа образуют квадратную решетку.)

Свойства[править | править вики-текст]

Множество целых чисел Эйзенштейна является коммутативным кольцом. Это кольцо содержится в поле алгебраических чисел Q(ω) — в круговом поле третьей степени.

Число ω удовлетворяет уравнению и является целым алгебраическим числом. Поэтому и все целые Эйзенштейна являются целыми алгебраическими числами.

Можно также явно выписать многочлен, корнем которого является z = a + bω.

Произведение двух чисел Эйзенштейна и дает

Норма целого числа Эйзенштейна есть квадрат абсолютной величины

Таким образом, норма целого числа Эйзенштейна всегда является натуральным целым. Поскольку

,

Норма целого числа Эйзенштейна, не равного нулю, всегда положительна.

Группа единиц кольца чисел Эйзенштейна является циклической группой, сформированной шестью корнями из единицы на комплексной плоскости. А именно

{±1, ±ω, ±ω2}

А это, как раз, целые числа Эйзенштейна единичной нормы.

Простые числа Эйзенштейна[править | править вики-текст]

Если x и y — целые числа Эйзенштейна, мы говорим, что x делит y если существует некоторое целое число Эйзенштейна z, такое, что y = z x.

Это расширяет понятие делимости натуральных целых чисел. Мы также можем расширить понятие простого числа; Говорят, что отличное от единицы целое число Эйзенштейна x является простым числом Эйзенштейна, если все его делители имеют вид ux, где u — любая из шести единиц.

Можно показать, что натуральные простые числа, сравнимые с 1 по модулю 3, а также число 3, можно представить в виде x2xy + y2 (x, y — целые) и, поэтому, могут быть разложены (x + ωy)(x + ω2y), а следовательно, не являются простыми числами Эйзенштейна. Натуральные простые числа, сравнимые с 2 по основанию 3, не могут быть представлены тем же образом, так что они являются также и простыми числами Эйзенштейна.

Каждое целое число Эйзенштейна a + bω, норма которого a2ab + b2 — натуральное простое, являются простыми Эйзенштейна.

Евклидово кольцо[править | править вики-текст]

Кольцо чисел Эйзенштейна образуют евклидово кольцо, в котором норма N задается формой

Это может быть выведено следующим образом:

Факторгруппа C по целым Эйзенштейна[править | править вики-текст]

Факторгруппа комплексной плоскости C по решётке, содержащей все целые числа Эйзенштейна, является комплексным тором действительной размерности 2, который выделяется наибольшей группой симметрий среди всех комплексных торов действительной размерности 2.

См. также[править | править вики-текст]

Замечания[править | править вики-текст]

  1. Surányi László. Algebra. — TYPOTEX, 1997. — P. 73. и Szalay Mihály. Számelmélet. — Tankönyvkiadó, 1991. — P. 75. обе называют эти числа “Euler-egészek”, то есть, числами Эйлера.

Ссылки[править | править вики-текст]