Центральный биномиальный коэффициент

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике nцентральный биномиальный коэффициент определяется следующим выражением в терминах биномиальных коэффициентах

{2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} для всех n \geq 0.

Они получили своё название в связи с тем, что они находятся в точности посередине чётных рядов в треугольнике Паскаля. Первые несколько центральных биномиальных коэффициентов выписаны ниже, начиная с n = 0:

1, 2, 6, 20, 70, 252, 924, 3432, 12870, 48620, … последовательность A000984 в OEIS

Свойства[править | править вики-текст]

Производящая функция:

\frac{1}{\sqrt{1-4x}} = 1 + 2x + 6x^2 + 20x^3 + 70x^4 + 252x^5 + \cdots.


По формуле Стирлинга получаем:

 {2n \choose n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}} при n\rightarrow\infty.


Полезные ограничения:

\frac{4^n}{\sqrt{4n}} \leq {2n \choose n} \leq \frac{4^n}{\sqrt{3n+1}} для каждого n \geq 1


Если нужна большая точность:

{2n \choose n} = \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}\left(1-\frac{c_n}{n}\right) где \frac{1}{9} < c_n < \frac{1}{8} для всех n \geq 1.


С этим понятием тесно связаны т. н. числа Каталана, Cn. Их формула:

C_n = \frac{1}{n+1} {2n \choose n} = {2n \choose n} -
        {2n \choose n+1} для каждого n \geq 0.

Обобщением центральных биномиальных коэффициентов можно считать числа  \frac{\Gamma(2n+1)}{\Gamma(n+1)^2}=\frac{1}{n\Beta(n+1,n)}, для всех действительных n, при которых выражение определено, где \Gamma(x) это Гамма-функция, а \Beta(x,y) это Бета-функция.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]