Центроид треугольника

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Triangle.Centroid.svg

Центроид треугольника, (также барицентр треугольника и центр тяжести треугольника) — точка пересечения медиан в треугольнике.

Центроид традиционно обозначается латинской буквой M.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
  • Центроид лежит на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности, и делит его в отношении 2:1 (см. прямая Эйлера).
  • Если в вершины треугольника поместить равные массы, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центроидом. Более того, центр масс треугольника с равномерно распределённой массой также находится в центроиде.
    • В частности, если M — центроид треугольника ABC то для любой точки O верно, что
      \overrightarrow{OM} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}).
  • точка пересечения медиан является точкой, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника имеет наименьшее значение (теорема Лейбница).
  • Три отрезка прямых, соединяющих вершины треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих треугольника (равной площади).
  • Три отрезка прямых, соединяющих середины сторон треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих четырехугольника (равной площади).
  • При изогональном сопряжении центроид переходит в точку Лемуана (в точку пересечения трех симедиан треугольника).

История[править | править вики-текст]

Факт, что три медианы пересекаются в одной точке, было доказано ещё Архимедом.

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

В четырёхугольнике[править | править вики-текст]

Центроид (барицентр или центр масс) произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения средних линий четырёхугольника и отрезка, соединяющего середины диагоналей, и делит все три отрезка пополам.

Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершины

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]