Центроид треугольника

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Triangle.Centroid.svg

Центроид треугольника, (также барицентр треугольника и центр тяжести треугольника) — точка пересечения медиан в треугольнике.

Центроид традиционно обозначается латинской буквой M. Центроид треугольника относится к замечательным точкам треугольника и он перечислен в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга[en], как точка X(2).

Свойства[править | править вики-текст]

  • Центроид делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины.
  • Центроид лежит на отрезке, соединяющем ортоцентр и центр описанной окружности, и делит его в отношении 2:1 (см. прямая Эйлера).
  • Если в вершины треугольника поместить равные массы, то центр масс (барицентр) полученной системы будет совпадать с центроидом. Более того, центр масс треугольника с равномерно распределённой массой также находится в центроиде.
    • В частности, если M — центроид треугольника ABC то для любой точки O верно, что
      \overrightarrow{OM} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC}).
  • Точка пересечения медиан является точкой, для которой сумма квадратов расстояний до вершин треугольника имеет наименьшее значение (теорема Лейбница).
  • Три отрезка прямых, соединяющих вершины треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих треугольника (равной площади).
  • Три отрезка прямых, соединяющих середины сторон треугольника с центроидом, разбивают данный треугольник на три равновеликих четырехугольника (равной площади).
  • При изогональном сопряжении центроид переходит в точку Лемуана (в точку пересечения трех симедиан треугольника).
  • Построим две прямые, каждая из которых проходит через точку Аполлония и точку Торричелли, отличную от изогонально сопряжённой ей. Такие прямые пересекутся в центроиде треугольника (в точке пересечения медиан треугольника).
  • Пусть ABC — треугольник на плоскости. Окружность, проходящая через центроид и две точки Аполлония треугольника ABC, называется окружностью Парри треугольника ABC.
  • Точка пересечения трех медиан имеет наименьшую сумму квадратов расстояний до вершин треугольника.
  • Точка пересечения трех медиан треугольника является единственной точкой треугольника такой, что проведенные через нее три чевианы разделяют своими концами стороны треугольника на шесть отрезков. При этом произведение длин трех из этих шести отрезков, не имеющих общих концов, максимально. [1]

История[править | править вики-текст]

Факт того, что три медианы пересекаются в одной точке, был доказан ещё Архимедом.

Вариации и обобщения. Центроиды в четырехугольнике[править | править вики-текст]

  • Центроид (барицентр или центр масс) произвольного четырёхугольника лежит в точке пересечения средних линий четырёхугольника и отрезка, соединяющего середины диагоналей, и делит все три отрезка пополам.

Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершины

  • Если во вписанном в окружность четырехугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центроиды этих четырех треугольников лежат на одной окружности [2].
  • У выпуклого четырехугольника, вписанного в окружность, "центроид площади" или центр масс его площади Ga, вершинный центроид или центр масс четырех его вершин Gv и точка пересечения его диагоналей P коллинеарны. Расстояния между этими точками удовлетворяют формуле [3]
PG_a = \tfrac{4}{3}PG_v.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]