Цепной комплекс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Цепно́й компле́кс — основное понятие гомологической алгебры.

Определения[править | править исходный текст]

Цепным комплексом называется последовательность (K_\bullet, \partial_\bullet) модулей и гомоморфизмов \partial_{n}:K_{n}\to K_{n-1}, называемых граничными операторами или дифференциалами:

\ldots \xleftarrow{}K_{n-1}\xleftarrow{\partial_{n}}K_{n}\xleftarrow{\partial_{n+1}}K_{n+1}\xleftarrow{}\ldots ,

такая что \partial_{n}\partial_{n+1}=0. Элементы K_n называются n-мерными цепями, элементы ядра Z_n K=Ker\partial_n — n-мерными циклами, элементы образа B_n K=Im\partial_{n+1} — n-мерными границами. Из \partial_{n}\partial_{n+1}=0 следует, что B_n K \subset Z_n K (полуточность). Если к тому же B_n K = Z_n K, то такой комплекс называется точным.

Цепные комплексы модулей над фиксированным кольцом образуют категорию с морфизмами ~\varphi_{\bullet}\colon (K_\bullet, \partial^{K}_\bullet)\to (L_\bullet, \partial^{L}_\bullet), где \varphi_{\bullet} последовательность морфизмов \varphi_{n}\colon K_n \to L_n, такая что \varphi_{n} коммутирует с дифференциалом, то есть \partial^{L}_{n}\varphi_{n}=\varphi_{n-1}\partial^{K}_{n}.

Коцепной комплекс[править | править исходный текст]

Коцепной комплекс — понятие, двойственное цепному комплексу. Он определяется как последовательность модулей (\Omega^{\bullet}, d^{\bullet}) и гомоморфизмов d^n\colon \Omega^n \to \Omega^{n+1}, таких что

d^{n+1} d^n = 0

Коцепной комплекс, как и цепной, является полуточной последовательностью.

\ldots \xrightarrow{} \Omega^{n-1} \xrightarrow{d^{n-1}} \Omega^{n} \xrightarrow{d^n} \Omega^{n+1} \xrightarrow{d^{n+1}} \ldots

Свойства и понятия, связанные с коцепными комплексами, двойственны аналогичным понятиям и свойствам цепных комплексов.

Гомологии и когомологии[править | править исходный текст]

n-мерная группа гомологий H_n цепного комплекса (K_\bullet, \partial_\bullet) является его мерой точности в n-ом члене и определяется как

H_n(K_\bullet, \partial_\bullet) = B_n(K)/Z_n(K)= \mathrm{Ker}\, \partial_n / \mathrm{Im}\, \partial_{n+1}. Для точного комплекса H_n=0

Аналогично определяется n-мерная группа когомологий коцепного комплекса:

H^{n}(\Omega^\bullet, d^\bullet) = B^n/Z^n = \mathrm{Ker}\, d^n / \mathrm{Im}\, d^{n-1}

Гомоморфизмы цепных комплексов[править | править исходный текст]

Гомоморфизмом цепных комплексов (A^\bullet , \delta^\bullet) и (B^\bullet, \gamma^\bullet) называется такое отображение f\colon A_n \to B_n, \forall n\in \N, что следующая диаграмма оказывается коммутативной:

Complexchainmorph.PNG

Гомоморфизм цепных комплексов индуцирует гомоморфизм их групп гомологий.

Цепная гомотопия[править | править исходный текст]

Цепная гомотопия D\colon X \to Y между гомоморфизмами комплексов f и g - это такой гомоморфизм цепных комплексов (X^\bullet, \partial^\bullet) и (Y^\bullet, \delta^\bullet) степени +1 (т.е. D_k \colon X_k \to Y_{k+1}), для которого

\delta D + D \partial = g - f
\delta_{k+1} D_k + D_{k-1} \partial_k = g_k - f_k

Для коцепных комплексов соответствующая коммутативная диаграмма имеет вид

Diagram chain homotopy.svg

Литература[править | править исходный текст]

  • Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра, — М.: Издательство Иностранной Литературы, 1960.
  • Маклейн С. Гомология, — М.: Мир, 1966.
  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии, — М.: Мир, 1976.