Цепной комплекс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Цепно́й компле́кс и двойственное понятие коцепной комплекс — основные понятия гомологической алгебры.

Эти понятия первоначально использовались в алгебраической топологии для изучения топологических пространств. В гомологической алгебре рассматриваются как абстрактные алгебраические структуры, безотносительно к какому-либо топологическому пространству.

Для цепных комплексов определяются их группы гомологий (группы когомологий для коцепных комплексов). Цепные комплексы также могут быть определены в произвольной абелевой категории.

Определения[править | править вики-текст]

Цепным комплексом называется последовательность модулей и гомоморфизмов , называемых граничными операторами или дифференциалами:

,

такая что . Элементы называются -мерными цепями, элементы ядра  — -мерными циклами, элементы образа  — -мерными границами. Из следует, что (полуточность). Если к тому же , то такой комплекс называется точным.

Цепные комплексы модулей над фиксированным кольцом образуют категорию с морфизмами , где последовательность морфизмов , такая что коммутирует с дифференциалом, то есть .

Цепной комплекс также можно определить как градуированный модуль , снабжённый дифференциалом степени −1.

Также можно определить комплексы, состоящие из объектов произвольной абелевой категории, например, категории пучков абелевых групп.[1]

Коцепной комплекс[править | править вики-текст]

Коцепной комплекс — понятие, двойственное цепному комплексу. Он определяется как последовательность модулей и гомоморфизмов , таких что

Коцепной комплекс, как и цепной, является полуточной последовательностью.

Свойства и понятия, связанные с коцепными комплексами, двойственны аналогичным понятиям и свойствам цепных комплексов.

Гомологии и когомологии[править | править вики-текст]

n-мерная группа гомологий цепного комплекса является его мерой точности в n-ом члене и определяется как

. Для точного комплекса

Аналогично определяется n-мерная группа когомологий коцепного комплекса:

Гомоморфизмы цепных комплексов[править | править вики-текст]

Гомоморфизмом цепных комплексов и называется такое отображение что следующая диаграмма оказывается коммутативной:

Complexchainmorph.PNG

Гомоморфизм цепных комплексов индуцирует гомоморфизм их групп гомологий.

Тензорное произведение комплексов и внутренний Hom[править | править вики-текст]

Если V = V и W = W — цепные комплексы, то их тензорное произведение  — это цепной комплекс, элементы степени i которого имеют вид

а дифференциал задаётся формулой

где a и b — произвольные однородные элементы V и W соответственно, а обозначает степень элемента a.

Это тензорное произведение позволяет снабдить категорию цепных комплексов K-модулей (для произвольного коммутативного кольца K) структурой симметричной моноидальной категории. Операция заузливания задаётся на разложимых тензорах формулой

.

Знак необходим для того, чтобы операция заузливания была гомоморфизмом цепных комплексов. Более того, в категории цепных комплексов K-модулей имеется внутренний Hom: для цепных комплексов V и W, внутренний Hom для V и W, обозначаемый hom(V,W), — это цепной комплекс, элементы степени n которого имеют вид , а дифференциал задаётся формулой

.

Имеется естественный изоморфизм

.

Цепная гомотопия[править | править вики-текст]

Цепная гомотопия между гомоморфизмами комплексов и  — это такой гомоморфизм цепных комплексов и степени +1 (то есть ), для которого

Для коцепных комплексов соответствующая коммутативная диаграмма имеет вид

Diagram chain homotopy.svg

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры, — М.: 1961. (Б-ка сборника «Математика»).
  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии, — М.: Мир, 1976.
  • Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра, — М.: Издательство Иностранной Литературы, 1960.
  • Маклейн С. Гомология, — М.: Мир, 1966.