Цепной комплекс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Цепно́й компле́кс и двойственное понятие коцепной комплекс — основные понятия гомологической алгебры.

Эти понятия первоначально использовались в алгебраической топологии для изучения топологических пространств. В гомологической алгебре рассматриваются как абстрактные алгебраические структуры, безотносительно к какому-либо топологическому пространству.

Для цепных комплексов определяются их группы гомологий (группы когомологий для коцепных комплексов). Цепные комплексы также могут быть определены в произвольной абелевой категории.

Определения[править | править вики-текст]

Цепным комплексом называется последовательность модулей и гомоморфизмов , называемых граничными операторами или дифференциалами:

,

такая что . Элементы называются -мерными цепями, элементы ядра  — -мерными циклами, элементы образа  — -мерными границами. Из следует, что (полуточность). Если к тому же , то такой комплекс называется точным.

Цепные комплексы модулей над фиксированным кольцом образуют категорию с морфизмами , где последовательность морфизмов , такая что коммутирует с дифференциалом, то есть .

Также можно определить комплексы, состоящие из объектов произвольной абелевой категории, например, категории пучков абелевых групп.[1]

Коцепной комплекс[править | править вики-текст]

Коцепной комплекс — понятие, двойственное цепному комплексу. Он определяется как последовательность модулей и гомоморфизмов , таких что

Коцепной комплекс, как и цепной, является полуточной последовательностью.

Свойства и понятия, связанные с коцепными комплексами, двойственны аналогичным понятиям и свойствам цепных комплексов.

Гомологии и когомологии[править | править вики-текст]

n-мерная группа гомологий цепного комплекса является его мерой точности в n-ом члене и определяется как

. Для точного комплекса

Аналогично определяется n-мерная группа когомологий коцепного комплекса:

Гомоморфизмы цепных комплексов[править | править вики-текст]

Гомоморфизмом цепных комплексов и называется такое отображение что следующая диаграмма оказывается коммутативной:

Complexchainmorph.PNG

Гомоморфизм цепных комплексов индуцирует гомоморфизм их групп гомологий.

Цепная гомотопия[править | править вики-текст]

Цепная гомотопия между гомоморфизмами комплексов и - это такой гомоморфизм цепных комплексов и степени +1 (т.е. ), для которого

Для коцепных комплексов соответствующая коммутативная диаграмма имеет вид

Diagram chain homotopy.svg

Примечания[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры, — М.: 1961. (Б-ка сборника "Математика").
  • Дольд А. Лекции по алгебраической топологии, — М.: Мир, 1976.
  • Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра, — М.: Издательство Иностранной Литературы, 1960.
  • Маклейн С. Гомология, — М.: Мир, 1966.