Циркуляция векторного поля

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Циркуля́цией ве́кторного по́ля по данному замкнутому контуру Γ называется криволинейный интеграл второго рода, взятый по Γ. По определению

где  — векторное поле (или вектор-функция), определенное в некоторой области D, содержащей в себе контур Γ,  — бесконечно малое приращение радиус-вектора вдоль контура. Окружность на символе интеграла подчёркивает тот факт, что интегрирование производится по замкнутому контуру. Приведенное выше определение справедливо для трёхмерного случая, но оно, как и основные свойства, перечисленные ниже, прямо обобщается на произвольную размерность пространства.

Свойства циркуляции[править | править вики-текст]

Свойство аддитивности циркуляции: циркуляция по контуру есть сумма циркуляций по контурам и , то есть

Аддитивность[править | править вики-текст]

Циркуляция по контуру, ограничивающему несколько смежных поверхностей, равна сумме циркуляций по контурам, ограничивающим каждую поверхность в отдельности, то есть

Формула Стокса[править | править вики-текст]

Циркуляция вектора F по произвольному контуру Г равна потоку вектора через произвольную поверхность S, ограниченную данным контуром.

где  — ротор (вихрь) вектора F.

В случае, если контур плоский, например лежит в плоскости OXY, справедлива теорема Грина

где  — плоскость, ограничиваемая контуром (внутренность контура).

Физическая интерпретация[править | править вики-текст]

Физическая интерпретация циркуляции: Работа поля по замкнутому контуру

Если F — некоторое силовое поле, тогда циркуляция этого поля по некоторому произвольному контуру Γ есть работа этого поля при перемещении точки вдоль контура Г. Отсюда непосредственно следует критерий потенциальности поля: поле является потенциальным когда циркуляция его по произвольному замкнутому контуру есть нуль. Или же, как следует из формулы Стокса, в любой точке области D ротор этого поля есть нуль.

Историческая справка[править | править вики-текст]

Термин «циркуляция» был первоначально введен в гидродинамике для расчета движения жидкости по замкнутому каналу. Рассмотрим течение идеальной несжимаемой жидкости. Выберем произвольный контур Γ. Мысленно представим, что мы (мгновенно) заморозили всю жидкость в объеме, за исключением тонкого канала постоянного сечения, включающего в себя контур Γ. Тогда, в зависимости от первоначального характера течения жидкости, она будет либо неподвижной в канале, либо двигаться вдоль контура (циркулировать). В качестве характеристики такого движения берут величину равную произведению средней скорости движения жидкости по каналу на длину контура l:

поскольку именно скорость установится в этом случае в итоге всюду в канале, а величина циркуляции C даст (обобщённый) импульс для жидкости единичной плотности, сопряженный (обобщенной) координате, характеризующей положение жидкости как целого в канале, соответствующей, несколько упрощая, положению одиночной «пылинки» в жидкости, измеренному по линейке, изгибающейся вдоль канала.

Так как при затвердевании стенок канала нормальная к контуру компонента скорости будет погашена (вообразим, что это происходит перед тем, как тангенциальная скорость в канале всюду становится одинаковой вследствие несжимаемости жидкости), жидкость по каналу будет сразу после затвердевания двигаться с тангенциальной составляющей исходной скорости . Тогда циркуляцию можно представить в виде

где dl — элемент длины контура.

Позже понятие «циркуляция» было распространено на любые векторные поля, даже такие, в которых «циркулировать» в буквальном смысле нечему.

Литература[править | править вики-текст]