Чебышёв, Пафнутий Львович

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Чебышев, Пафнутий Львович»)
Перейти к: навигация, поиск
Пафнутий Львович Чебышёв
Blank300.png
Чебышёв, Пафнутий Львович.jpg
Blank300.png
Дата рождения:

4 (16) мая 1821({{padleft:1821|4|0}}-{{padleft:5|2|0}}-{{padleft:16|2|0}})

Место рождения:

Окатово, Калужская губерния,
Российская империя

Дата смерти:

26 ноября (8 декабря) 1894({{padleft:1894|4|0}}-{{padleft:12|2|0}}-{{padleft:8|2|0}}) (73 года)

Место смерти:

Санкт-Петербург,
Российская империя

Страна:

Российская империяFlag of Russia.svg Российская империя

Научная сфера:

математика, механика

Место работы:

Петербургский университет

Научный руководитель:

Н. Д. Брашман

Известные ученики:

Е. И. Золотарёв
А. Н. Коркин
А. М. Ляпунов
А. А. Марков
П. О. Сомов
Ю. В. Сохоцкий

Известен как:

один из основателей современной теории приближений

Награды и премии


Орден Святого Александра Невского
Орден Святого Владимира II степени
Орден Святой Анны I степени
Орден Святого Станислава I степени
Кавалер ордена Почётного легиона
Логотип Викитеки Произведения в Викитеке

Пафну́тий Льво́вич Чебышёв (4 [16] мая 1821, Окатово, Боровский уезд, Калужская губерния — 26 ноября [8 декабря] 1894, Санкт-Петербург) — русский математик и механик, основоположник петербургской математической школы, академик Петербургской академии наук с 1859 года[1][2]; «величайший, наряду с Н. И. Лобачевским, русский математик XIX века»[3]. Иностранный член Парижской академии наук (1874), член Лондонского королевского общества (1877), Берлинской академии наук (1871), Болонской академии наук[en] (1873), Шведской академии наук (1893) и других академий и научных обществ[4].

Произношение и написание фамилии[править | править исходный текст]

Фамилию учёного — по его собственному указанию — следует произносить «Чебышо́в»[5]; в XIX веке такое произношение данной старинной дворянской фамилии (писавшейся тогда — в условиях традиционного неразличения е/ё на письме — как «Чебышевъ») было весьма распространено[6] (предполагают, что эта фамилия по своему происхождению является кратким притяжательным прилагательным, образованным от антропонима Чебыш с ударением на окончании в косвенных падежах и на последнем слоге основы в именительном падеже[7]).

В XX веке в связи с тенденцией к обособлению фамилий на -ов/-ёв от исходных притяжательных прилагательных[6] и всё ещё распространённым неразличением на письме е/ё получило довольно широкое распространение ошибочное произношение «Че́бышев» (с ударением на первом слоге) — несмотря на чёткие рекомендации авторитетных источников[8][9]. 4-е издание академического «Русского орфографического словаря» (2013)[10], словарь ударений «Собственные имена в русском языке» (2001)[11] и профильные академические издания[12][13], последовательно использующие букву ё при передаче имён и названий, фиксируют в качестве орфографической и орфоэпической нормы написание и произношение Чебышёв.

Биография[править | править исходный текст]

Пафнутий Чебышёв родился 4 (16) мая 1821 года в селе Окатово Боровского уезда Калужской губернии (ныне село Акатово Жуковского района Калужской области) в семье богатого землевладельца, представителя старинного русского дворянского рода Чебышёвых Льва Павловича Чебышёва — участника Отечественной войны 1812 года и взятия Парижа в 1814 году[14][15]. Дата рождения дана в соответствии с обнаруженной В. Е. Прудниковым записью в метрической книге села Спас-Прогнанье Калужской губернии[16][17] (во многих источниках приводится[18][1] дата 14 (26) мая, указанная К. А. Поссе в статье «Чебышёв, Пафнутий Львович» из Энциклопедического словаря Брокгауза и Ефрона[19]).

Первоначальное воспитание и образование получил дома: грамоте его обучила мать Аграфена Ивановна, арифметике и французскому языку — двоюродная сестра Авдотья Квинтилиановна Сухарёва. Кроме того, с детства Пафнутий занимался музыкой[20]. Одним из детских увлечений будущего учёного было изучение механизмов игрушек и автоматов, причём он и сам придумывал и мастерил разные механические игрушки. Этот интерес к механизмам сохранялся у Чебышёва и в зрелые годы[21].

В 1832 году семья переехала в Москву, чтобы продолжить образование взрослеющих детей. В Москве с Пафнутием математикой и физикой занимался П. Н. Погорельский — один из лучших учителей Москвы, у которого в том числе учился, в пансионе Вейденгаммера, и Иван Тургенев[18][22].

Летом 1837 года Чебышёв начал изучение математики в Московском университете на втором физико-математическом отделении философского факультета. Существенное влияние на формирование круга научных интересов молодого Чебышёва оказал его учитель — профессор прикладной математики и механики Московского университета Николай Дмитриевич Брашман; благодаря ему, в частности, Чебышёв познакомился с работами французского инженера Жана-Виктора Понселе[18].

В 1840/1841 учебном году, участвуя в студенческом конкурсе, Чебышёв получил серебряную медаль за работу по нахождению корней уравнения n-й степени (сама работа была написана им ещё в 1838 году и сделана на основе алгоритма Ньютона)[23][24].

В 1841 году Пафнутий Чебышёв окончил Московский университет. В это время дела его родителей из-за голода, охватившего в 1840 году значительную часть России, пришли в расстройство, и семья больше не могла материально поддерживать своего сына. Однако выпускник университета, невзирая на своё крайне стеснённое материальное положение, упорно продолжал заниматься наукой[25][26]. В 1846 году он успешно защитил магистерскую диссертацию «Опыт элементарного анализа теории вероятностей»[27].

В 1847 году Чебышёв был утверждён в звании адъюнкт-профессора Петербургского университета. Чтобы получить право лекций в университете, он защитил ещё одну диссертацию — на тему «Об интегрировании с помощью логарифмов», после чего читал лекции по высшей алгебре, теории чисел, геометрии, теории эллиптических функций и практической механике[28][29]. Не раз он читал и курс теории вероятностей, изъяв из него расплывчатые формулировки и неправомерные утверждения и превратив его в строгую математическую дисциплину[30].

В 1849 году Чебышёв защитил в Петербургском университете докторскую диссертацию «Теория сравнений», после чего в 1850 году он стал профессором Петербургского университета; данную должность он занимал до 1882 года[5]. Работая в Петербургском университете, Чебышёв близко сошёлся с профессором прикладной математики О. И. Сомовым, который тоже был учеником Н. Д. Брашмана, и эти отношения переросли в глубокую дружбу. В семейном плане Чебышёв был одинок, и это обстоятельство также способствовало его сближению с большой семьёй Сомова[31].

В 1852 году Чебышёв совершил научную командировку в Великобританию, Францию и Бельгию, в ходе которой он ознакомился с практикой зарубежного машиностроения, с музейными коллекциями машин и механизмов, с работой заводов и фабрик, а также встречался с крупнейшими математиками и механиками: О. Коши, Ж. Лиувиллем, Ж.-А. Серре, Л. Фуко, Ш. Эрмитом, Дж. Сильвестром, А. Кэли, Т. Грегори. После этого он некоторое время преподавал практическую механику в Петербургском университете и Александровском лицее[32][33].

В 1853 году академики П. Н. Фусс, В. Я. Струве, Б. С. Якоби, В. Я. Буняковский представили Чебышёва к избранию в адъюнкты Петербургской академии наук, особо отметив важность его работ в области практической механики. В том же году он был избран в адъюнкты, а в 1856 году стал экстраординарным академиком. В 1858 году в связи с его работами по теории шарнирных параллелограммов и теории приближения функций академики В. Я. Буняковский, М. В. Остроградский, Э. Х. Ленц, Б. С. Якоби, А. Я. Купфер, О. В. Струве подписали представление к избранию Чебышёва ординарным академиком, что и произошло в следующем году[34].

В 1863 году особая «Комиссия Чебышёва» принимала деятельное участие от Совета Санкт-Петербургского университета в разработке Университетского устава. Университетский устав, подписанный Александром II 18 июня 1863 года, предоставлял автономию университету как корпорации профессоров. Этот устав просуществовал до эпохи контрреформ правительства Александра III и рассматривался историками как наиболее либеральный и удачный университетский регламент в России XIX — начала XX веков[35].

П. Л. Чебышёв умер 26 ноября (8 декабря1894 года за письменным столом[36]. Погребён в родном имении, в селе Спас-Прогнанье (ныне Жуковского района Калужской области) у храма Преображения Господня, рядом с могилами родителей[37][38].

Научная деятельность[править | править исходный текст]

П. Л. Чебышёв. 1860-е годы

Математика[править | править исходный текст]

Основные математические исследования П. Л. Чебышёва относятся к теории чисел, теории вероятностей, теории приближения функций, математическому анализу, геометрии, прикладной математике[1].

Творческий метод Чебышёва отличало стремление к увязке проблем математики с вопросами естествознания и техники и к соединению абстрактной теории с практикой[39]. Учёный указывал: «Сближение теории с практикою даёт самые благотворные результаты, и не одна только практика от этого выигрывает: сами науки развиваются под влиянием её: она открывает им новые предметы для исследования или новые стороны в предметах давно известных… Если теория много выигрывает от новых приложений старой методы или от новых развитий её, то она ещё более приобретает открытием новых метод, и в этом случае науки находят себе верного руководителя в практике»[40].

Теория чисел[править | править исходный текст]

Из многочисленных открытий Чебышёва надо упомянуть прежде всего работы по теории чисел. Начало им было положено докторской диссертацией Чебышёва «Теория сравнений», напечатанной в 1849 году; она стала первой отечественной монографией по теории чисел. Этот труд несколько раз переиздавался, был переведен на немецкий и итальянский языки[41].

В 1851 году появился знаменитый его мемуар «Об определении числа простых чисел, не превосходящих данной величины»[42]. К этому моменту была известна недоказанная гипотеза Лежандра, согласно которой функция распределения простых чисел \pi(x) приближённо равна:

\pi(x)\;\approx\;\frac{x}{\ln x - 1{,}08366}

Чебышёв обнаружил гораздо лучшее приближение — интегральный логарифм (это предположение впервые высказал Гаусс, однако не смог его обосновать):

\pi(x)\;\approx\;{\rm li}\,x\;\equiv\;\int\limits_2^x\frac{{\rm d}t}{\ln t}

Чебышёв показал, что предел отношения \frac{\pi(x)}{{\rm li}\,x} не может быть отличным от 1, и дал оценку возможным отклонениям \pi(x) от интегрального логарифма. Он также показал, что предел отношения \frac{\pi(x)}{x/\ln x} не может отличаться от 1. Позднее (в 1896 году) существование обоих пределов доказали — независимо друг от друга — Ж. Адамар и Ш. Ж. Валле-Пуссен[43][44].

Этот мемуар принёс Чебышёву общеевропейскую известность. В следующем году (1852) Чебышёв опубликовал новую статью «О простых числах». В ней он провёл глубокий анализ сходимости рядов, зависящих от простых чисел, нашёл критерий их сходимости. В качестве приложения этих результатов он впервые доказал «постулат Бертрана» (выдвинутую Ж. Л. Бертраном гипотезу о том, что при n>3 между натуральными числами n и 2n-2 находится по крайней мере одно простое число) и дал новую, весьма точную оценку для \pi(x):

0{,}92129 < \frac{\pi(x)}{x/\ln x} < 1{,}10555

(данное неравенство позже сумели несколько усилить Дж. Сильвестр и И. Шур)[45][41][43].

Чебышёв много занимался теорией квадратичных форм и связанными с ней проблемами делимости натуральных чисел и их разложения на простые множители. В своей статье 1866 года «Об одном арифметическом вопросе» он, используя аппарат непрерывных дробей, исследовал диофантовы приближения целых чисел[46]. В аналитической теории чисел он одним из первых использовал гамма-функцию[47].

Теория вероятностей[править | править исходный текст]

Чебышёв стал первым русским математиком мирового уровня и в теории вероятностей. С 1860 года он сменил В. Я. Буняковского на кафедре теории вероятностей Петербургского университета и начал свой цикл лекций. Он опубликовал по данной теме всего четыре работы, но фундаментального характера. Особенно интересна его статья «О средних величинах» (1866 год), где приведено «неравенство Чебышёва», позднее усиленное Марковым:

\mathbb{P}\left(|x - Mx|\geqslant k \sigma \right) \leqslant \frac{1}{k^2}
Неравенство Чебышёва, ограничивающее вероятность больших отклонений случайной величины от своего математического ожидания

Эта формула означает, что вероятность отклонения любой случайной величины x от её среднего значения (математического ожидания) Mx более чем на k стандартных отклонений (\sigma) не превышает ~\frac{1}{k^2}. Например, отклонение на 5 \sigma имеет вероятность 1/25, то есть 4 %.

Хотя указанное неравенство впервые было опубликовано (без доказательства) И.-Ж. Бьенэме в 1853 году, за ним закрепилось название «неравенство Чебышёва» — в значительной мере потому, что П. Л. Чебышёв не только дал вывод этого неравенства, но и успешно применил его для решения важной проблемы — обоснования закона больших чисел[48].

Именно, в качестве следствия данного неравенства Чебышёв получил чрезвычайно общую формулировку закона больших чисел: если математические ожидания серии n случайных величин и квадраты этих математических ожиданий ограничены в совокупности, то среднее арифметическое этих величин с ростом n сходится к среднему арифметическому для их математических ожиданий. Из этой теоремы получаются как следствия теоремы Бернулли и Пуассона; Чебышёв впервые строго оценил точность этих теорем и других приближений[49].

В этой же статье П. Л. Чебышёв впервые чётко обосновал общепринятую сегодня точку зрения на понятие случайной величины как на одно из основных понятий теории вероятностей[50].

В 1887 году появилась статья Чебышёва «О двух теоремах относительно вероятностей». В этой работе он установил, что при некоторых (достаточно общих) условиях выполняется центральная предельная теорема: сумма большого числа независимых случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями (например, погрешностей измерения) распределена приближённо по нормальному закону, и тем точнее, чем больше слагаемых в сумме. Этот результат по своей общности далеко перекрывает теорему Муавра — Лапласа и все её аналоги[51]. В ходе поисков доказательства теоремы Чебышёв разработал — для случая сходимости к нормальному распределению — метод, известный сейчас как метод моментов, то есть метод определения распределения вероятностей по его моментам[52][53].

Доказывая свой вариант центральной предельной теоремы, Чебышёв допустил логический пробел: оказалось, что — в дополнение к указанным Чебышёвым условиям применимости теоремы — следует ещё потребовать, чтобы среднее арифметическое дисперсий при стремлении n к бесконечности имело предел. Данный недостаток был вскоре исправлен А. А. Марковым[52].

Обе упомянутые теоремы Чебышёва занимают центральное место в теории вероятностей. Особенно важно то обстоятельство, что Чебышёв не только указал предельное распределение, но в обоих случаях детально проанализировал границы возможных отклонений от этого предела[54]. Исследования П. Л. Чебышёва продолжили его ученики, в первую очередь А. А. Марков и А. М. Ляпунов[52].

Теория приближения функций[править | править исходный текст]

Хотя теория приближения функций имеет достаточно богатую предысторию, собственно историю этого раздела математики принято исчислять с 1854 года, когда была опубликована статья П. Л. Чебышёва «Теория механизмов, известных под названием параллелограммов». Она стала первой из серии работ учёного по «функциям, наименее уклоняющимся от нуля» (исследованиям в данной области Чебышёв посвятил сорок лет)[55][56].

В упомянутой статье Чебышёв пришёл к выводу, что для приближения аналитической функции f на некотором отрезке [a,b] алгебраическим многочленом заданной степени формула Тейлора недостаточно эффективна, и поставил общую задачу о нахождении для заданной непрерывной функции многочлена наилучшего равномерного приближения[57]. За меру уклонения функции f от нуля он принял величину

\max_{x\in [a,b]}|f(x)|\;;

сейчас её называют либо (следуя Чебышёву) уклонением от нуля[58], либо чебышёвской нормой функции f[59]. Фактически речь идёт о равномерной метрике в пространстве C[a,b] непрерывных функций на отрезке X\equiv[a,b]; в этой метрике за меру различия между функциями f и g принимается величина

d(f,g)\, = \,\max\limits_X |f(x)-g(x)|\,\,.

В соответствии с этим среди многочленов степени, не превышающей n, многочленом наилучшего равномерного приближения для функции f является такой многочлен U, для которого чебышёвская норма разности f-U минимальна[59][60].

Чебышёв установил характеристическое свойство такого многочлена: многочлен U будет многочленом наилучшего равномерного приближения тогда и только тогда, когда на отрезке [a,b] найдутся такие n+2 точки X_i, что в них разность f-U поочерёдно принимает свои максимальное и минимальное значения, равные по модулю (точки чебышёвского альтернанса). Позднее, в 1905 году, Э. Борель доказал существование и единственность многочлена наилучшего равномерного приближения[59][61]. Начиная с середины XX века многочлены наилучшего приближения весьма часто используют в стандартных компьютерных программах для вычисления элементарных и специальных функций[62].

Аналогичный результат Чебышёв получил и для наилучшего равномерного приближения непрерывной функции рациональными дробями с фиксированными степенями числителя и знаменателя[63].

П. Л. Чебышёв поставил и решил задачу о нахождении многочленов, наименее уклоняющихся от нуля: на отрезке [-1,1] это — такие многочлены степени n с коэффициентом 1 при старшем члене, для которых уклонение от нуля на данном отрезке минимально. Оказалось, что решением данной задачи служат многочлены \overline{T}_n(x)=T_n(x)/2^{n-1} с чебышёвской нормой, равной 1/2^{n-1} (они лишь числовым множителем отличаются от многочленов Чебышёва 1-го рода). Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля на произвольном отрезке [a,b], получаются из рассмотренных линейной заменой независимой переменной[64][65].

Введённые П. Л. Чебышёвым многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля, получили применение, в частности, в вычислительной линейной алгебре. Именно, начиная с 1950-х годов при решении систем линейных уравнений вида Ax=b с симметричной положительно определённой матрицей A получил распространение чебышёвский итерационный метод. Это — видоизменение метода простых итераций, в простейшем своём варианте имеющее вид

x^{k+1}\; = \;x^k\,-\,\tau_k\,(Ax^k-b)\,,\;\;k=0,1,\, \dots

(x^k — очередное приближение к точному решению системы), причём параметры \tau_k подбираются из условия: норма погрешности приближённого решения должна за очередной цикл из N итераций (N задано заранее) уменьшаться максимально быстро. Оказалось, что если n и M — нижняя и верхняя границы для собственных значений матрицы A, то на каждом цикле за \tau_k следует брать числа, обратные значениям корней многочлена, наименее уклоняющегося от нуля на отрезке [m,M] (при этом для обеспечения вычислительной устойчивости корни берут не подряд, а переупорядочивают специальным образом)[66][67]. Наиболее важные приложения данный метод нашёл при численном решении эллиптических краевых задач[68].

Эта и последующие работы Чебышёва были весьма оригинальными — как по постановке задач, так и по предложенным методам их решения. Предложенная Чебышёвым постановка задачи о приближении функции существенно отличается от другого известного подхода, когда для оценки различия двух функций f и g часто используют какую-нибудь усреднённую характеристику разности этих функций — например, метрику L_2 Лебега[69]:

d(f,g) = \sqrt{ \, \int\limits_X (f(x)-g(x))^2\, \mu({\rm d}x)}

(задача о наилучшем среднеквадратичном приближении)[70][71].

Подход Чебышёва отличается тем, что в качестве критерия близости двух функций берётся не среднее, а максимальное их различие (чебышёвская норма разности функций). Этот подход предпочтителен во многих практических ситуациях — например, при работе механизма даже кратковременное существенное отклонение текущих параметров от стандартных может привести к снижению его работоспособности или даже разрушению[72]. Аналогичные требования предъявляют картография (максимальное искажение масштаба на карте должно быть невелико), механика точных часовых механизмов и т. п.[73]

Для картографии Чебышёв сформулировал в 1856 году теорему: «наивыгоднейшая конформная проекция для изображения какой-нибудь части земной поверхности на карте есть та, в которой на границе изображения масштаб сохраняет одну и ту же величину». Доказать её сумел 38 лет спустя ученик Чебышёва Д. А. Граве; ныне данная теорема называется теоремой Чебышёва — Граве, а удовлетворяющие её условиям конформные проекции — чебышёвскими проекциями[74][75].

В начале XX века развитая в работах Чебышёва и его школы теория наилучшего приближения функций переросла в конструктивную теорию функций. При этом с появлением работ Д. Джексона[en] (1911) и С. Н. Бернштейна (1912) акценты сместились от задач индивидуального приближения функций к изучению поведения погрешностей приближения многочленами при стремлении n к бесконечности[76][77].

П. Л. Чебышёв занимался также и классическим способом приближения функций — интерполированием. В 1859 году в работе «Вопросы о наименьших величинах, связанных с приближённым представлением функций» он показал, что погрешность интерполяции для функции, заданной на отрезке [-1,1], минимальна, если использовать корни многочленов Чебышёва 1-го рода T_n(x) в качестве узлов интерполяции[78].

Математический анализ и геометрия[править | править исходный текст]

Профессора физико-математического факультета Санкт-Петербургского университета (1868). Сидят слева направо: А. В. Советов, П. Л. Чебышёв, К. Ф. Кесслер, А. Н. Савич, П. А. Пузыревский, Ф. В. Овсянников, А. Н. Бекетов. Стоят: Р. Э. Ленц, Н. А. Меншуткин, А. С. Фаминцын, О. И. Сомов, Ф. Ф. Петрушевский, Д. И. Менделеев, А. Н. Коркин

По интегральному исчислению особенно замечателен мемуар 1860 года[79], в котором для заданного многочлена x^4+\alpha x^3 + \beta x^2 + \gamma x + \delta с рациональными коэффициентами даётся алгоритм определения такого числа A, что выражение \frac{x+A}{\sqrt{x^4+\alpha x^3 + \beta x^2 + \gamma x + \delta}} интегрировалось в логарифмах, и вычисления соответствующего интеграла.

К работам последнего периода деятельности Чебышёва относятся исследования «О предельных значениях интегралов» («Sur les valeurs limites des intégrales», 1873). Совершенно новые вопросы, поставленные здесь учёным, разрабатывались затем его учениками. Последний мемуар Чебышёва 1895 года относится к той же области.

Чебышёву принадлежит теорема об условиях интегрируемости дифференциального бинома, опубликованная в мемуаре 1853 года «Об интегрировании иррациональных дифференциалов». Теорема устанавливает, что интеграл

\int x^m (a+bx^n)^p\,{\rm d}x\;,

где m, n, p — рациональные числа, выражается в элементарных функциях только в трёх случаях (известных ещё в XVIII веке)[80][81]:

  • p — целое число;
  • \frac{m+1}{n} — целое число;
  • \frac{m+1}{n}\,+\,p — целое число.

В 1882 году П. Л. Чебышёв доказал, что для заданных на отрезке [a,b] монотонных функций f и g с неотрицательными значениями выполняется неравенство

\int\limits_a^b f(x)\,{\rm d}x\,\int\limits_a^b g(x)\,{\rm d}x\,\; \leqslant \;\,(b-a)\,\int\limits_a^b f(x)\,g(x)\,{\rm d}x\;,

причём аналогичное неравенство

\sum_{k=1}^n \,a_k\,\sum_{k=1}^n \,b_k\; \leqslant \;n\,\sum_{k=1}^n \,a_k\,b_k

справедливо и для конечных монотонных последовательностей неотрицательных чисел. Сейчас оба этих неравенства называют неравенствами Чебышёва[82].

Ряд важных результатов, полученных П. Л. Чебышёвым, относится к ещё одному разделу математического анализа — теории ортогональных многочленов; получены они были в тесной связи с исследованиями по теории приближения функций. В 1854 году в работе «Теория механизмов, известных под названием параллелограммов» Чебышёв ввёл многочлены Чебышёва 1-го рода T_n(x) и 2-го рода U_n(x) и приступил к изучению их свойств (это были первые системы классических ортогональных многочленов, последовавшие за введёнными А. М. Лежандром ещё в 1785 году многочленами Лежандра)[83][84].

В 1859 году в статье «О разложении функций одной переменной» Чебышёв ввёл две новые системы классических ортогональных многочленов. Ныне они известны как многочлены Чебышёва — Эрмита (или многочлены Эрмита) и многочлены Чебышёва — Лагерра (или многочлены Лагерра)[76]; названия связаны с тем, что позднее эти многочлены изучали соответственно Ш. Эрмит (1864)[85] и Э. Лагерр (1878)[86]. Все перечисленные системы ортогональных многочленов играют большую роль в математике, имея многообразные приложения. При этом Чебышёв на основе аппарата непрерывных дробей разработал общую теорию разложения произвольной функции в ряд по ортогональным многочленам[87].

Дифференциальной геометрии поверхностей была посвящена статья Чебышёва с необычным названием «О кройке одежды» (1878); в ней учёный ввёл новый класс координатных сеток, получивший название «сети Чебышёва»[88].

Прикладная математика[править | править исходный текст]

В течение сорока лет Чебышёв принимал активное участие в работе военного артиллерийского ведомства (с 1855 года — действительный член Артиллерийского отделения Военно-учёного комитета, с 1859 года — действительный член Временного артиллерийского комитета) и работал над усовершенствованием дальнобойности и точности артиллерийской стрельбы, применяя для обработки результатов опытных стрельб методы теории вероятностей. В курсах баллистики до наших дней сохранилась формула Чебышёва для вычисления дальности полёта снаряда в зависимости от его угла бросания, начальной скорости и сопротивления воздуха при заданной начальной скорости. Своими трудами Чебышёв оказал большое влияние на развитие русской артиллерийской науки, на приобщение учёных-артиллеристов к математике[89][90].

В тесной связи с работой Чебышёва во Временном артиллерийском комитете находились его исследования по квадратурным формулам. В ходе данных исследований он в 1873 году предложил новый тип квадратурных формул (квадратурные формулы Чебышёва). Эти формулы удовлетворяют дополнительному требованию равенства весов и позволяют упростить вычисления и сократить их объём, обладая следующим важным свойством: они доставляют минимум дисперсии вычисленного по ним приближённого значения интеграла (при условии, что погрешности в узлах независимы и имеют одинаковую дисперсию и равное нулю математическое ожидание)[1][91]. Чебышёв нашёл явный вид данных формул для числа узлов n=2, \dots,7; позднее С. Н. Бернштейн добавил к ним формулу с n=9 и доказал, что при n=8 и n\geqslant10 таких формул не существует[92].

Механика[править | править исходный текст]

В области механики П. Л. Чебышёва интересовали вопросы прикладной механики и в особенности — теории механизмов; последней посвящено около 15 работ учёного[93][94]. Он не опубликовал ни одной работы по общим вопросам теоретической механики, однако в ряде работ его учеников (П. И. Сомов, А. М. Ляпунов, Д. А. Граве), относившихся к области теоретической механики, нашли своё отражение идеи, подсказанные их учителем. Фактически П. Л. Чебышёв возглавил после смерти М. В. Остроградского петербургскую ветвь самобытной русской школы механики[32].

Что касается теории механизмов, то историки науки выделяют три сложившиеся в России во 2-й половине XIX века научные школы в этой области: П. Л. Чебышёва в Петербурге (оформившаяся ранее двух остальных), В. Н. Лигина в Одессе и Н. Е. Жуковского в Москве. Под влиянием бесед с Чебышёвым задачами кинематики механизмов заинтересовались английские математики Дж. Сильвестр и А. Кэли[95].

Синтез механизмов[править | править исходный текст]

В 1850-е годы Чебышёв заинтересовался шарнирно-рычажными механизмами, служащими для приближённого преобразования кругового движения в прямолинейное и наоборот. К числу таких механизмов относится параллелограмм Уатта, сконструированный изобретателем универсальной паровой машины Дж. Уаттом как раз для преобразования прямолинейного возвратно-поступательного движения штока (жёстко связанного с поршнем паровой машины) в качательное движение конца балансира. К середине XIX века подобных механизмов было известно немного, параметры их звеньев подбирались эмпирически, в то время как неизбежные неточности прямого хода приводили к росту потерь на трение и быстрому изнашиванию звеньев[96][97].

Чебышёв поставил задачу целенаправленного нахождения параметров искомого механизма с тем, чтобы на некотором заданном отрезке максимальное отклонение траектории рабочей точки механизма от её касательной в средней точке наименее уклонялось от нуля по сравнению с другими аналогичными траекториями. Решая данную задачу, учёный пришёл к созданию нового раздела теории приближения функций — теории функций, наименее уклоняющихся от нуля. Полученные результаты Чебышёв изложил в работе «Теория механизмов, известных под названием параллелограммов» (1854), став основоположником математической теории синтеза механизмов[97][72].

Методы теории функций, наименее уклоняющихся от нуля, П. Л. Чебышёв применил также в работах о центробежном регуляторе (где требовалось обеспечить изохронность хода механизма) и о зубчатых колёсах (для построения при помощи дуг окружностей профиля зуба, позволяющего добиться близости отношения угловых скоростей колёс к требуемому значению)[94].

Структура механизмов[править | править исходный текст]

Чебышёв положил также начало теории структуры плоских механизмов. В работе «О параллелограммах» (1869) он для рычажных механизмов с вращательными кинематическими парами и одной степенью свободы вывел структурную формулу (ныне известную как «формула Чебышёва»[98]) — тождество, которому должен удовлетворять каждый такой механизм:

3m\,\,-\,\,2(n\,+\,v)\;=\;1\,\,,

где m — число подвижных звеньев, n и v — числа соответственно подвижных и неподвижных шарниров. Через 14 лет эта формула была переоткрыта немецким механиком М. Грюблером[de][72][99]. В 1887 году ученик Чебышёва П. О. Сомов получил аналогичную структурную формулу для пространственных механизмов[100].

Конструирование механизмов[править | править исходный текст]

Перекрёстный приближённо-направляющий механизм Чебышёва

Чебышёву принадлежит создание свыше 40 различных механизмов и около 80 их модификаций. Среди них — механизмы с остановками, механизмы выпрямителей и ускорителей движения и тому подобные механизмы, многие из которых находят применение в современном авто-, мото- и приборостроении[99][101].

В конструкциях ряда механизмов, предложенных П. Л. Чебышёвым, нашли свою реализацию разработанные им методы синтеза механизмов. Здесь прежде всего заслуживают упоминания два приближённо-направляющих механизма Чебышёва, относящихся к классу шарнирных четырёхзвенников и известных под названиями лямбдаобразного и перекрёстного. В данных механизмах траектория заданной точки P, расположенной на шатуне (у лямбдаобразного механизма — на конце шатуна, у перекрёстного — посередине), весьма мало отличается на некотором участке от отрезка прямой. В то же время минимальное число звеньев для механизма с вращательными кинематическими парами, обеспечивающее точное прямолинейное движение для одной из своих точек, равно 6[102].[103].

На Всемирной выставке в Филадельфии в 1876 году экспонировалась сконструированная Чебышёвым паровая машина, обладавшая рядом конструктивных преимуществ[104].

Среди созданных Чебышёвым механизмов — «стопоходящая машина»[105], имитировавшая движение животного при ходьбе[106]. Эта машина была с успехом показана на Всемирной выставке в Париже в 1878 году[107][108], а в настоящее время хранится в московском Политехническом музее[109].

Модель инвалидной коляски — самокатное кресло, построенное П. Л. Чебышёвым, была показана на Всемирной выставке в Чикаго в 1893 году[110], а автоматический арифмометр[106], изобретённый им и ставший первым арифмометром непрерывного действия[30], хранится в Парижском музее искусств и ремесел[101]. Помимо самокатного кресла, на Чикагской выставке демонстрировались изобретённые П. Л. Чебышёвым сортировалка (механизм для сортировки зерна по массе) и семь механизмов для преобразования вращения в другие виды движения[109][111].

Вопросы образования[править | править исходный текст]

Общественная деятельность Чебышёва не исчерпывалась его профессурой и участием в делах Академии наук. В качестве члена Учёного комитета Министерства народного просвещения (1856—1873) он рецензировал учебники, составлял программы и инструкции для начальных и средних школ[21][112].

Во 2-й половине XIX века острейшая потребность в квалифицированных технических кадрах, вызванная бурным развитием машиностроения, поставила перед российской высшей школой вопрос о значительном увеличении числа подготавливаемых инженеров-машиностроителей. Профессор Киевского университета И. И. Рахманинов предложил готовить таких инженеров на физико-математических факультетах университетов. П. Л. Чебышёв выступил против этого предложения, считая более целесообразным сосредоточить подготовку инженеров в высших технических учебных заведениях, а в университетах готовить специалистов по теоретическим (фундаментальным) наукам. Именно по этому пути — пути создания значительного числа технических вузов различного профиля — и пошла российская высшая школа[113].

Ученики Чебышёва[править | править исходный текст]

Для Чебышёва не меньшее значение, чем конкретные научные результаты, всегда имела задача развития российской математической школы. Как отмечали Б. В. Гнеденко и О. Б. Шейнин, «П. Л. Чебышёв был не только хорошим лектором, но и замечательным научным руководителем, обладавшим редкой способностью удачно выбирать и точно ставить перед молодыми исследователями новые вопросы, рассмотрение которых обещало привести к ценным открытиям»[114]. Чебышёв стал одним из влиятельнейших членов Московского математического общества (создано в 1864 году, издавало первый в России математический журнал — «Математический сборник») и оказывал обществу значительную помощь[115].

Значительный вклад в науку внесли многочисленные ученики П. Л. Чебышёва. Среди них — такие известные математики и механики, как[46][116]:

Чебышёв и его ученики сформировали ядро того научного коллектива математиков, за которым со временем закрепилось название Петербургской математической школы. В 1890 году члены данного коллектива организовали Петербургское математическое общество (действовало до 1905 года)[81].

Оценки и память[править | править исходный текст]

П. Л. Чебышёв. Почтовая марка к 125-летию со дня рождения. СССР, 1946

Заслуги Чебышёва оценены были учёным миром достойным образом. Характеристика его учёных заслуг очень хорошо выражена в записке академиков А. А. Маркова и И. Я. Сонина, зачитанной на первом после смерти Чебышёва заседании Академии. В этой записке, между прочим, сказано[117]:

Труды Чебышёва носят отпечаток гениальности. Он изобрёл новые методы для решения многих трудных вопросов, которые были поставлены давно и оставались нерешёнными. Вместе с тем он поставил ряд новых вопросов, над разработкой которых трудился до конца своих дней.

Аналогичного взгляда на научный вклад П. Л. Чебышёва придерживались и другие известные математики XIX века. Так, Шарль Эрмит утверждал, что Чебышёв «является гордостью русской науки и одним из величайших математиков Европы», а Густав Миттаг-Леффлер писал, что Чебышёв — гениальный математик и один из величайших аналитиков всех времён[118].

Позднее академик В. А. Стеклов отмечал, что гений Чебышёва являет исключительный образец соединения практики с творческой, обобщающей силой увлечённого мышления[119].

Его избрали своим членом:

и др. — всего 25 различных академий и научных обществ[118]. Чебышёв состоял также почётным членом всех российских университетов; его портрет изображён на здании математико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

П. Л. Чебышёв был награждён орденами Святого Александра Невского, Святого Владимира II степени, Святой Анны I степени, Святого Станислава I степени. В 1890 году он был также награждён французским орденом Почётного легиона[120].

Именем П. Л. Чебышёва названы:

  • премия «За лучшие исследования в области математики и теории механизмов и машин», учреждённая Академией наук СССР в 1944 году;
  • кратер на Луне;
  • астероид 2010 Чебышёв;
  • математический журнал «Чебышёвский сборник»[121];
  • суперкомпьютер в Научно-исследовательском вычислительном центре МГУ[122];
  • многие объекты в современной математике;
  • исследовательская лаборатория Санкт-Петербургского государственного университета[123];
  • улицы во многих российских городах, в том числе: Волгограде, Воронеже, Екатеринбурге, Калуге, Пензе, Твери.

Публикации[править | править исходный текст]

Книги[править | править исходный текст]

Статьи[править | править исходный текст]

См. также[править | править исходный текст]

Примечания[править | править исходный текст]

  1. 1 2 3 4 Боголюбов, 1983, с. 517
  2. Глейзер, 1982, с. 166—169
  3. Математика XIX века. Т. I, 1978, с. 216
  4. Боголюбов, 1983, с. 518
  5. 1 2 Рыбников, 1974, с. 417
  6. 1 2 Унбегаун Б. О.  Русские фамилии / Пер. с англ. Л. В. Куркиной, В. П. Нерознака, Е. Р. Сквайрс; ред. Н. Н. Попов. — М. : Прогресс, 1989. — С. 349. — ISBN 5-01-001045-3.
  7. Лопатин Н. В.  О происхождении фамилии «Чебышёв» // Летопись Историко-родословного общества в Москве. — М., 1997. — Вып. 4—5 (48—49). — С. 160—164.
  8. Гнеденко, 1978. В заголовке статьи: «Чебышев (произносится Чебышёв) Пафнутий Львович…»
  9. Калиткин Н. Н.  Численные методы : учебное пособие. — 2-е изд., испр. — СПб. : БХВ-Петербург, 2011. — С. 33 [чебышёвская система функций], 465 [чебышёвский набор шагов], 552 [критерий Чебышёва], 574 [многочлены Чебышёва]. — (Учебная литература для вузов). — ISBN 978-5-9775-0500-0.
  10. Чебышёв [многочлены Чебышёва, формула Чебышёва] ; чебышёвский // Русский орфографический словарь / Российская академия наук. Институт русского языка им. В. В. Виноградова; под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. — Изд. 4-е, испр. и доп. — М. : АСТ-ПРЕСС КНИГА, 2013. — С. 819. — (Фундаментальные словари русского языка). — ISBN 978-5-462-01272-3.
  11. Агеенко Ф. Л.  Чебышёв Пафнýтий // Собственные имена в русском языке : словарь ударений. — М. : Изд-во НЦ ЭНАС, 2001. — С. 349. — ISBN 5-93196-107-0.
  12. Журнал вычислительной математики и математической физики. — М. : Изд-во АН СССР, 1982. — № 1. — Т. 22. — С. 142 [чебышёвский центр множества].
  13. Математический сборник. — М. : Наука, 2004. — Т. 195. — С. 29 [чебышёвский альтернанс], 56—57 [чебышёвский метод].
  14. Прудников, 1976, с. 13—14, 19
  15. Глейзер, 1982, с. 166—167
  16. Краткие сведения о семье и роде П. Л. Чебышёва // Чебышёв П. Л.  Полное собрание сочинений. Т. 5. Прочие сочинения. Биографические материалы. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1951. — 474 с. — С. 189—192.
  17. Прудников, 1976, с. 19
  18. 1 2 3 Марков, Сонин, 1944, с. 5
  19. Поссе К. А.  Чебышев, Пафнутий Львович // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
  20. Прудников, 1976, с. 29—30
  21. 1 2 Глейзер, 1982, с. 169
  22. Прудников, 1976, с. 29—31
  23. Прудников, 1976, с. 37
  24. П. Л. Чебышёв в Московском университете // Чебышёв П. Л.  Полное собрание сочинений. Т. 5. Прочие сочинения. Биографические материалы. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1951. — 474 с. — С. 193—197.
  25. Прудников, 1976, с. 43
  26. Марков, Сонин, 1944, с. 6
  27. Прудников, 1976, с. 63
  28. Глейзер, 1982, с. 167
  29. История механики в России, 1987, с. 197—198
  30. 1 2 Стройк, 1984, с. 255
  31. История механики в России, 1987, с. 210
  32. 1 2 Моисеев, 1961, с. 355
  33. История механики в России, 1987, с. 199—200
  34. История механики в России, 1987, с. 198—199
  35. Прудников, 1976, с. 99—102
  36. Марков, Сонин, 1944, с. 9
  37. Глейзер, 1982, с. 170
  38. Прудников, 1976, с. 267—268
  39. Глейзер, 1982, с. 167—178
  40. Прудников, 1976, с. 7
  41. 1 2 Математика XIX века. Т. I, 1978, с. 160—165
  42. Tchebychef P. L.  Mémoire sur les nombres premiers // Œuvres de P. L. Tchebychef. — 1850.
  43. 1 2 Рыбников, 1974, с. 420
  44. Стройк, 1984, с. 254
  45. Глейзер Г. И., 1982, с. 169.
  46. 1 2 Рыбников, 1974, с. 421
  47. Математика XIX века. Т. I, 1978, с. 128—129, 157
  48. Прохоров А. В.  Чебышёва неравенство // Математическая энциклопедия. Т. 5 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Сов. энциклопедия, 1984. — 1248 стб. — Стб. 842—843.
  49. Майстров, 1967, с. 225—238
  50. Прохоров Ю. В.  Случайная величина // Математическая энциклопедия. Т. 5 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Сов. энциклопедия, 1984. — 1248 стб. — Стб. 9—10.
  51. Чебышёв, П. Л. Полное собрание сочинений. — Издательство АН СССР, 1948. — Т. III. — С. 404.
  52. 1 2 3 Рыбников, 1974, с. 422
  53. Прохоров А. В.  Моментов метод // Математическая энциклопедия. Т. 3 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Сов. энциклопедия, 1982. — 1184 стб. — Стб. 792—793.
  54. Колмогоров А. Н.  Роль русской науки в развитии теории вероятностей // Учёные записки МГУ. — Μ., 1947. — Т. I, вып. 91, кн.1. — С. 53—64..
  55. Тихомиров, 1987, с. 106—108
  56. Рыбников, 1974, с. 424—425
  57. Тихомиров, 1987, с. 107—108, 126
  58. Амосов А. А., Дубинский Ю. А., Копчёнова Н. В.  Вычислительные методы. 3-е изд. — М.: Издат. дом МЭИ, 2008. — 672 с. — ISBN 978-5-383-00302-2. — С. 363.
  59. 1 2 3 Вержбицкий В. М.  Основы численных методов. — М.: Высшая школа, 2002. — 840 с. — ISBN 5-06-004020-8. — С. 393—395.
  60. Тихомиров, 1987, с. 118, 126—127
  61. Тихомиров, 1987, с. 127—128
  62. Попов, Б. А., Теслер Г. С.  Вычисление функций на ЭВМ: Справочник. — Киев: Наукова думка, 1984. — 599 с. — C. 22—23.
  63. Тихомиров, 1987, с. 127—128.
  64. Бахвалов Н. С.  Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). 2-е изд. — М.: Наука, 1975. — 632 с. — С. 58.
  65. Тихомиров, 1987, с. 122—123
  66. Ильин В. А., Позняк Э. Г.  Линейная алгебра. 3-е изд. — М.: Наука, 1984. — 294 с. — C. 175—179.
  67. Лебедев В. И.  Чебышёвский итерационный метод // Математическая энциклопедия. Т. 5 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Сов. энциклопедия, 1984. — 1248 стб. — Стб. 848—850.
  68. Федоренко Р. П.  Введение в вычислительную физику. — М.: Изд-во МФТИ, 1994. — 528 с. — ISBN 5-7417-0002-0. — C. 154—159.
  69. Колмогоров А. Н., Фомин С. В.  Элементы теории функций и функционального анализа. 3-е изд. — М.: Наука, 1972. — 496 с. — С. 356—358.
  70. Корнейчук Н. П.  Приближение функций // Математическая энциклопедия. Т. 4 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Сов. энциклопедия, 1984. — 1216 стб. — Стб. 603—609.
  71. Тихомиров, 1987, с. 117—118
  72. 1 2 3 Тюлина, 1979, с. 197
  73. История механики в России, 1987, с. 200, 203
  74. Гончаров В. Л.  О построении географических карт // Чебышёв П. Л.  Полное собрание сочинений. Т. 5. Прочие сочинения. Биографические материалы. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1951. — 474 с. — С. 179—183.
  75. Мещеряков Г. А.  Картографии математические задачи // Математическая энциклопедия. Т. 2 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Сов. энциклопедия, 1979. — 1104 стб. — Стб. 740—746.
  76. 1 2 Стройк, 1984, с. 256
  77. Тихомиров, 1987, с. 139—140
  78. Пирумов У. Г.  Численные методы. 2-е изд. — М.: Дрофа, 2003. — 224 с. — ISBN 5-7107-6074-9. — С. 133.
  79. Tchebychef P. L.  Sur l’intégration de la différentielle \frac{x+A}{\sqrt{x^4+\alpha x^3 + \beta x^2 + \gamma x + \delta}}dx // Œuvres de P. L. Tchebychef. — 1860.
  80. Глейзер Г. И.  История математики в школе. IX—X кл. — М.: Просвещение, 1983. — 351 с. — С. 128.
  81. 1 2 Рыбников, 1974, с. 426
  82. Битюцков В. И.  Чебышёва неравенство // Математическая энциклопедия. Т. 5 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Сов. энциклопедия, 1984. — 1248 стб. — Стб. 850.
  83. Суетин П. К.  Чебышёва многочлены // Математическая энциклопедия. Т. 5 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Сов. энциклопедия, 1984. — 1248 стб. — Стб. 840—841.
  84. Тихомиров, 1987, с. 122—125
  85. Суетин П. К.  Эрмита многочлены // Математическая энциклопедия. Т. 5 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Сов. энциклопедия, 1984. — 1248 стб. — Стб. 1016.
  86. Суетин П. К.  Лагерра многочлены // Математическая энциклопедия. Т. 3 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Сов. энциклопедия, 1982. — 1184 стб. — Стб. 167—168.
  87. Рыбников, 1974, с. 422, 424—425
  88. Математика XIX века. Т. II, 1981, с. 31
  89. История механики в России, 1987, с. 192
  90. П. Л. Чебышёв в Артиллерийском комитете // Чебышёв П. Л.  Полное собрание сочинений. Т. 5. Прочие сочинения. Биографические материалы. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1951. — 474 с. — С. 408—412.
  91. Бахвалов Н. С., Жидков Н. П., Кобельков Г. М.  Численные методы. 3-е изд. — М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2003. — 632 с. — ISBN 5-94774-060-5. — С. 98.
  92. Тихомиров, 1987, с. 201
  93. История механики в России, 1987, с. 197—199
  94. 1 2 Веселовский И. Н.  Очерки по истории теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1974. — 287 с. — С. 227.
  95. История механики в России, 1987, с. 8, 200
  96. Тюлина, 1979, с. 196—197
  97. 1 2 Моисеев, 1961, с. 356
  98. Теория механизмов и машин / под ред. К. В. Фролова. — М. : Высшая школа, 1987. — С. 33.
  99. 1 2 Моисеев, 1961, с. 357
  100. История механики в России, 1987, с. 203
  101. 1 2 Vucinich, Alexander.  Science in Russian culture; 1861—1917. — Stanford : Stanford University Press[en], 1970. — 575 p. — ISBN 0-8047-0738-3. — P. 167.
  102. Артоболевский И. И.  Теория механизмов. — М.: Наука, 1965. — 776 с. — С. 26—27.
  103. Левитский Н. И.  Теория механизмов и машин. — М.: Наука, 1979. — 576 с. — С. 388—392.
  104. История механики в России, 1987, с. 201
  105. Стопоходящая машина П. Л. Чебышёва
  106. 1 2 3 4 5 6 7 Гнеденко, 1978
  107. Albert, John. Pafnuty Chebyshev. Steam Engines, and Polynomials. OU Mathfest. The University of Oklahoma[en] Department of Mathematics (январь 2009). Проверено 13 ноября 2013.
  108. История механики в России, 1987, с. 201—202
  109. 1 2 Чебышёв Пафнутий Львович на сайте «Математика и искусство»
  110. Прудников, 1976, с. 146
  111. Прудников, 1976, с. 242
  112. П. Л. Чебышёв в Учёном комитете Министерства народного просвещения // Чебышёв П. Л.  Полное собрание сочинений. Т. 5. Прочие сочинения. Биографические материалы. — М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1951. — 474 с. — С. 312—317.
  113. История механики в России, 1987, с. 228
  114. Гнеденко Б. В., Шейнин О. Б.  Теория вероятностей // Математика XIX века. Т. I / Под ред. А. Н. Колмогорова, А. П. Юшкевича. — М.: Наука, 1978. — 256 с. — С. 218.
  115. Рыбников, 1974, с. 432—433
  116. История механики в России, 1987, с. 198, 206—207
  117. Поссе, 1903
  118. 1 2 Глейзер, 1982, с. 168
  119. История механики в России, 1987, с. 197
  120. Прудников, 1976, с. 253, 257, 267—268
  121. Чебышёвский сборник
  122. Суперкомпьютер СКИФ МГУ «Чебышёв»
  123. Междисциплинарная исследовательская лаборатория имени П. Л. Чебышёва

Литература[править | править исходный текст]

Ссылки[править | править исходный текст]