Чевиана

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Чевиана — это любой отрезок в треугольнике, один конец которого является вершиной треугольника, а другой конец лежит на противоположной вершине стороне[1]. Медианы, высоты и биссектрисы являются специальными случаями чевиан. Название «чевиана» происходит от имени итальянского инженера Джованни Чевы, который доказал хорошо известную теорему о чевианах и которая также носит его имя[2].

Длина[править | править код]

Треугольник с чевианой длины d

Теорема Стюарта[править | править код]

Длину чевианы можно найти по теореме Стюарта — длина чевианы d (см. рисунок) задаётся формулой

Медиана[править | править код]

Если чевиана является медианой (то есть делит сторону пополам), длина может быть определена по формуле

или

поскольку

Следовательно,

Биссектриса[править | править код]

Если чевиана является биссектрисой, её длина удовлетворяет формуле

и [3]

откуда

,

где полупериметр s = (a+b+c)/2.

Сторона a делится в пропорции b:c.

Высота[править | править код]

Если чевиана является высотой, а потому перпендикулярна стороне, её длина удовлетворяет формулам

и

где полупериметр s = (a+b+c) / 2.

Свойства отношений[править | править код]

Три чевианы, проходящие через общую точку

Имеются различные свойства пропорций длин, образованных тремя чевианами, проходящими через одну общую внутреннюю точку[4]. Для треугольника на рисунке справа выполняются равенства

(Теорема Чевы)

Два последних свойства эквивалентны, поскольку сумма этих двух уравнений даёт тождество 1 + 1 + 1 = 3.

Делители периметра[править | править код]

Делители периметра треугольника — это чевиана, которая делит периметр пополам. Три таких делителя пересекаются в точке Нагеля треугольника.

Делители площади[править | править код]

Три делителя (пополам) площади треугольника — это его медианы.

Трисектрисы[править | править код]

Если в каждой вершине треугольника проведены две чевианы, делящие углы на три равные части, то шесть чевиан пересекаются попарно, образуя правильный треугольник, называемый треугольником Морли.

Площадь внутреннего треугольника, образованного чевианами[править | править код]

Теорема Рауса определяет отношение площади заданного треугольника к площади треугольника, образованного попарным пересечением трёх чевиан, по одной из каждой вершины.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

  • H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer. Geometry Revisited. — Washington, DC: Mathematical Association of America, 1967. — ISBN 0-883-85619-0.
  • James E. Lightner. A new look at the 'centers' of a triangle // The Mathematics Teacher. — 1975. — Т. 68, вып. 7. — С. 612–615.
  • Ross Honsberger. Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry // Mathematical Association of America. — 1995. — С. 13, 137.
  • Vladimir Karapetoff. Some properties of correlative vertex lines in a plane triangle // American Mathematical Monthly. — 1929. — Вып. 36. — С. 476–479.
  • Indika Shameera Amarasinghe. A New Theorem on any Right-angled Cevian Triangle // Journal of the World Federation of National Mathematics Competitions. — 2011. — Т. 24 (02). — С. 29–37.
  • Roger A. Johnson. Advanced Euclidean Geometry. — Dover Publ., 2007. — С. 70. (оригинал - 1929),
  • Alfred S. Posamentier, Charles T. Salkind'. Challenging Problems in Geometry. — 2nd. — Dover Publishing Co.,, 1996.