Четырёхугольник

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
ЧЕТЫРЁХУГОЛЬНИКИ
┌─────────────┼────────────┐
невыпуклый выпуклый самопересекающийся
Concave quadrilateral.png Convex quadrilateral.svg Cross-quadrilateral.png
┌─────────────┼─────────────┐
Cyclic quadrilateral.png Trapezium (geometry).svg Tangent quadrilateral.png
Вписанный трапеция описанный
| ┌───────────┤ |
Isoceles trapezium.png

равнобедренная трапеция
равнобокая

Parallelogram.png

параллелограмм
стороны параллельны

Cross-quadrilateral.png

антипараллелограмм
стороны антипараллельны

Kite (geometric figure).png

выпуклый ромбоид (дельтоид)
диагонали перпендикулярны

└─────┬─────┘ └─────┬─────┘
Rectangle (geometry).png

прямоугольник
прямые углы

Rhombus (geometry).png

Ромб
равнобедренный

└──────────┬─────────┘
Square (geometry).png

квадрат

Четырёхугольник — это геометрическая фигура (многоугольник), состоящая из четырёх точек (вершин), три из которых не лежат на одной прямой, и четырёх отрезков (сторон), последовательно соединяющих эти точки. Различают выпуклые и не выпуклые четырёхугольники, не выпуклый четырёхугольник может быть самопересекающимся (см. рис.).

Содержание

Виды четырёхугольников[править | править вики-текст]

  1. Параллелограмм — четырёхугольник, у которого все противоположные стороны попарно равны и параллельны;
    • Прямоугольник — четырёхугольник, у которого все углы прямые;
    • Ромб — четырёхугольник, у которого все стороны равны;
    • Квадрат — четырёхугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны;
  2. Трапеция — четырёхугольник, у которого две противоположные стороны параллельны;
  3. Дельтоид — четырёхугольник, у которого две пары смежных сторон равны.
  4. Антипараллелограмм, или контрпараллелограмм— четырёхугольник, в котором каждые две противоположные стороны равны между собою, но не параллельны, в отличие от параллелограмма, а антипараллельны.

Некоторые обозначения и сокращения[править | править вики-текст]

Вместо слова «Четырёхугольник» возможно использование некоторых обозначений и сокращений: четырёхугол, четырёхуг, 4-к, символ «» или « » [1].

Некоторые симметричные четырёхугольники[править | править вики-текст]

Некоторые симметричные четырёхугольники

На рис. показаны некоторые симметричные четырёхугольники, их переход друг в друга, а также дуальные к ним. Обозначения на рис.:

  • Kite (змей) — дельтоид (ромбоид)
  • Parallelogram — параллелограмм
  • Irregular quadrilateral — неправильный четырёхугольник
  • Rhombus — ромб
  • Rectangle — прямоугольник
  • Square — квадрат
  • Gyrational Square — вращающийся квадрат
  • Isosceles Trapezoid — равнобедренная трапеция

Полный четырёхсторонник[править | править вики-текст]

Хотя такое название может быть эквивалентно четырёхугольнику, в него часто вкладывают дополнительный смысл. Четвёрка прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, называется полным четырёхсторонником. Такая конфигурация встречается в некоторых утверждениях евклидовой геометрии (например, теорема Менелая, прямая Гаусса, прямая Обера, теорема Микеля и др.), в которых часто все прямые являются взаимозаменяемыми.

Угловые соотношения[править | править вики-текст]

  • Сумма углов четырёхугольника равна .

Метрические соотношения[править | править вики-текст]

Обобщенное неравенство четырёхугольника[править | править вики-текст]

В любом четырёхугольнике (включая вырожденный) сумма длин трех его сторон не меньше длины четвёртой стороны, то есть [2]:

  • ;
  • ;
  • ;
  • .
  • Равенство в обобщенном неравенстве четырёхугольника достигается только в том случае, если он вырожденный, то есть все четыре его вершины лежат на одной прямой.
  • Неравенство Птолемея для сторон и диагоналей выпуклого четырёхугольника имеет вид:

причём равенство достигается тогда и только тогда, когда выпуклый четырёхугольник вписан в окружность или его вершины лежат на одной прямой.

Если в четырёхугольнике две пары противоположных сторон не параллельны, то две середины его диагоналей лежат на прямой, которая проходит через середину отрезка, соединяющего две точки пересечения этих двух пар противоположных сторон (на рисунке точки показаны красным цветом). Указанная прямая называется прямой Гаусса (на рисунке она показана зелёным цветом). При этом прямая Гаусса всегда перпендикулярна прямой Обера.

Соотношения между сторонами и диагоналями четырёхугольника[править | править вики-текст]

  • Шесть расстояний между четырьмя произвольными точками плоскости, взятыми попарно, связаны соотношением:
.

Это соотношение можно представить в виде определителя:

  • Замечание. Последний определитель с точностью до множителя 288 представляет собой выражение для квадрата объёма тетраэдра через длины его рёбер с помощью определителя Кэли-Менгера. Если тетраэдр уложен в плоскость, то он имеет нулевой объём и превращается в четырёхугольник. Длины рёбер будут длинами сторон или диагоналей четырёхугольника.
  • Соотношения Бретшнайдера — соотношение между сторонами a, b, c, d и противоположными углами и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника:
,
,
.

Теоремы о средних линиях четырёхугольника[править | править вики-текст]

Пусть G, I, H, J — середины сторон выпуклого четырёхугольника ABCD, а E, F — середины его диагоналей. Назовем три отрезка GH, IJ, EF соответственно первой, второй и третьей средними линиями четырёхугольника. Первые две из них также называют бимедианами (bimedians[3]) [4]

Точки E, K, F лежат на одной прямой, прямой Ньютона
  • Обобщенная теорема Ньютона. Все три средние линии четырёхугольника пересекаются в одной точке (в центроиде вершин («vertex centroid») четырёхугольника [4]) и делятся ею пополам.
  • Середины E и F двух диагоналей, а также центроид вершин K выпуклого четырёхугольника лежат на одной прямой EF. Указанная прямая называется прямой Ньютона.
  • Теорема Вариньона (геометрия)[2]:
    • Четырёхугольники GIHJ, EHFG, JEIF являются параллелограммами и называются параллелограммами Вариньона. Первый из них назовем большим параллелограммом Вариньона
    • Центры всех трех параллелограммов Вариньона лежат на середине отрезка, соединяющего середины сторон исходного четырёхугольника (в этой же точке пересекаются отрезки, соединяющие середины противоположных сторон — диагонали вариньоновского параллелограмма).
    • Периметр большого параллелограмма Вариньона равен сумме диагоналей исходного четырёхугольника.
    • Площадь большого параллелограмма Вариньона равна половине площади исходного четырёхугольника , то есть
.
    • Площадь исходного четырёхугольника равна произведению первой и второй средних линий четырёхугольника на синус угла между ними, то есть
.
    • Сумма квадратов трех средних линий четырёхугольника равна четверти суммы квадратов всех его сторон и диагоналей:
.
  • Формула Эйлера: учетверённый квадрат расстояния между серединами диагоналей равен сумме квадратов сторон четырёхугольника минус сумма квадратов его диагоналей.
  • Математически для рисунка слева с серым четырёхугольником ABCD формула Эйлера записывается в виде:
.
  • Четыре отрезка, каждый из которых соединяет вершину четырёхугольника с центроидом треугольника, образованного оставшимися тремя вершинами, пересекаются в центроиде четырёхугольника и делятся им в отношении 3:1, считая от вершин.
  • См. также свойства центроида четырёхугольника.

Окружности девяти точек треугольников внутри четырёхугольника[править | править вики-текст]

В произвольном выпуклом четырёхугольнике окружности девяти точек треугольников , на которые его разбивают две диагонали, пересекаются в одной точке [5].

Частные случаи четырёхугольников[править | править вики-текст]

Четырёхугольники, вписанные в окружность[править | править вики-текст]

  • Говорят, что если около четырёхугольника можно описать окружность, то четырёхугольник вписан в эту окружность, и наоборот.
  • Около четырёхугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда сумма противоположных углов равна 180°, то есть:
.
  • Две теоремы Птолемея. Для простого (несамопересекающегося) четырёхугольника, вписанного в окружность, имеющего длины пар противоположных сторон: a и c, b и d, а также длины диагоналей e и f, справедливы:

1) Первая теорема Птолемея:

;

2) Вторая теорема Птолемея: В последней формуле пары смежных сторон числителя a и d, b и c опираются своими концами на диагональ длиной e. Аналогичное утверждение имеет место для знаменателя. 3) Формулы для длин диагоналей (следствия первой и второй теорем Птолемея):

и
  • Если выпуклый четырёхугольник вписан в некоторую окружность, то в ту же самую окружность вписаны и пара треугольников, на которые разбивает четырёхугольник любая из его диагоналей (связь с окружностями треугольника).
  • Из последнего утверждения следует: если три из четырёх медиатрис (или срединных перпендикуляров), проведенных к сторонам выпуклого четырёхугольника, пресекаются в одной точке, то в той же точке пресекается и медиатриса его четвёртой стороны. Более того, такой четырёхугольник вписан в некоторую окружность, центр которой находится в точке пресечения указанных медиатрис[6].
Теорема Микеля-Штейнера для четырёхстроннника
  • Выпуклый четырёхугольник (см. рис. справа), образованный четырьмя данными прямыми Микеля, вписан в окружность тогда и только тогда, когда точка Микеля M четырёхугольника лежит на прямой, соединяющей две из шести точек пересечения прямых (те, которые не являются вершинами четырёхугольника). То есть, когда M лежит на EF.
  • Прямая, антипараллельная стороне треугольника и пересекающая его, отсекает от него четырёхугольник, около которого всегда можно описать окружность.
  • Площадь вписанного в окружность четырёхугольника:
где p — полупериметр четырёхугольника.
    • Последняя формула следует из общей формулы (1) в рамке в параграфе «Площадь», если в ней учесть, что
    • Последняя формула есть обобщение формулы Герона на случай четырёхугольника.
    • Формула Брахмагупты для площади вписанного в окружность четырёхугольника может быть записана через определитель[8]:

  • Из последней формулы при d=0 автоматически получается формула Дроздова В. [9] [10] для формулы Герона:
  • Радиус окружности, описанной около четырёхугольника:

Японская теорема (Japanese theorem)
  • Теорема[11]. Если во вписанном в окружность четырёхугольнике провести диагональ, а в полученные два треугольника вписать две окружности, затем аналогично поступить, проведя вторую диагональ, тогда центры четырёх образовавшихся окружностей являются вершинами прямоугольника (то есть лежат на одной окружности). Эту теорему называют японской теоремой (Japanese theorem). (см. рис.). Кроме того, ортоцентры четырёх описанных здесь четырёх треугольников являются вершинами четырёхугольника, подобного исходному четырёхугольнику ABCD (то есть также лежат на другой окружности, ибо вершины исходного вписанного четырёхугольника лежат на некоторой окружности). Наконец, центроиды этих четырёх треугольников лежат на третьей окружности[12].
  • Теорема[13]. Пусть  — вписанный четырёхугольник,  — основание перпендикуляра, опущенного из вершины на диагональ ; аналогично определяются точки . Тогда точки лежат на одной окружности.
  • Условие, при котором совмещение двух треугольников с одной равной стороной дает четырёхугольник, вписанный в окружность[14]. Для того, чтобы два треугольника с тройками длин сторон соответственно (a, b, f) и (c, d, f) при их совмещении вдоль общей стороны с длиной, равной f, давали в итоге четырёхугольник, вписанный в окружность с последовательностью сторон (a, b, c, d), необходимо условие[15]:84
  • Последнее условие дает выражение для диагонали f четырёхугольника, вписанного в окружность, через длины четырёх его сторон (a, b, c, d). Эта формула немедленно следует при перемножении и при приравнивании друг другу левых и правых частей формул, выражающих суть первой и второй теорем Птолемея (см.выше).
  • Частными четырёхугольниками, вписанными в окружность, являются: прямоугольник, квадрат, равнобедренная или равнобочная трапеция, антипараллелограмм.
  • Подробнее о четырёхугольниках, вписанных в окружность (Cyclic quadrilateral) можно почитать на английском языке [16]

Четырёхугольники, вписанные в окружность с перпендикулярными диагоналями (вписанные ортодиагональные четырёхугольники)[править | править вики-текст]

Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, пересекающиеся в точке , то две пары его антимедиатрис проходят через точку .

Замечание. В этой теореме под антимедиатрисой[17] понимают отрезок четырёхугольника на рисунке справа (по аналогии с серединным перпендикуляром (медиатрисой) к стороне треугольника). Он перпендикулярен одной стороне и одновременно проходит через середину противоположной ей стороны четырёхугольника.

  • Известна теорема: Если в четырёхугольнике перпендикулярны диагонали, то на одной окружности (окружность восьми точек четырёхугольника) лежат восемь точек: середины сторон и проекции середин сторон на противоположные стороны [18]. Из этой теоремы и теоремы Брахмагупты следует, что концы двух пар антимедиатрис (восемь точек) вписанного ортодиагонального четырёхугольника лежат на одной окружности (окружность восьми точек четырёхугольника).
  • Частным вписанным ортодиагональным четырёхугольником, вписанным в окружность, является квадрат.

Четырёхугольники, описанные около окружности[править | править вики-текст]

  • Говорят, что если в четырёхугольник можно вписать окружность, то четырёхугольник описан около этой окружности, и наоборот.
  • Некоторые (но не все) четырёхугольники имеют вписанную окружность. Они называются описанными четырёхугольниками. Среди свойств этих четырёхугольников наиболее важным является то, что суммы противоположных сторон равны. Это утверждение называется теоремой Пито?!.
  • Иными словами, выпуклый четырёхугольник является описанным около окружности тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны, то есть: .
  • Точки касания вписанной окружности с четырёхугольником отсекают равные отрезки от углов четырёхугольника.
  • Площадь описанного четырёхугольника
    • Условие означает, что .

Вводя понятие полупериметра p, имеем . Следовательно, также имеем . Далее можно заметить: Следовательно, Тогда по формуле (1) в рамке в параграфе «Площадь» имеем

    • Поскольку четырёхугольник описан, то его площадь также равна половине периметра p, умноженной на радиус r вписанной окружности: .
  • Если выпуклый четырёхугольник — не трапеция и не параллелограмм и он описан около некоторой окружности, то около этой же самой окружности описаны и пара треугольников, которые получаются при продолжении двух его пар противоположных сторон до их пересечения (связь с окружностями треугольника).
  • Из последнего утверждения следует: если три из четырёх биссектрис (или биссекторов), проведенных для внутренних углов выпуклого четырёхугольника, пресекаются в одной точке, то в той же точке пресекается и биссектриса его четвёртого внутреннего угла. Более того такой четырёхугольник описан около некоторой окружности, центр которой находится в точке пресечения указанных биссектрис[19].
  • Если четырёхугольник является описанным около окружности, то центр его вписанной окружности лежит на прямой Ньютона. Более точное утверждение ниже.
  • Во всяком описанном четырёхугольнике две середины диагоналей и центр вписанной окружности лежат на одной прямой (теорема Ньютона). На ней же лежит середина отрезка с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника (если они не параллельны). Эта прямая называется прямой Гаусса. На рисунке (вторая группа рисунков сверху) она зелёная, диагонали красные, отрезок с концами в точках пересечения продолжений противоположных сторон четырёхугольника тоже красный.
  • Центр описанной около четырёхугольника окружности — точка пересечения высот треугольника с вершинами в точке пересечения диагоналей и точках пересечения противоположных сторон (теорема Брокара).
  • Частными четырёхугольниками, описанными около окружности, являются: ромб, квадрат, дельтоид.

Вписано-описанные четырёхугольники[править | править вики-текст]

Вписано-описанные четырёхугольники — четырёхугольники, которые могут быть одновременно описаны около некоторой окружности, а также вписаны в некоторую окружность.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Любое одно из двух указанных ниже условий по отдельности является необходимым, но не достаточным условием для того, чтобы данный выпуклый четырёхугольник был вписанно-описанным для некоторых окружностей:

и .

  • Выполнение двух последних условий одновременно для некоторого выпуклого четырёхугольника является необходимым и достаточным для того, чтобы данный четырёхугольник был вписанно-описанным.
  • Площадь вписанно-описанного четырёхугольника:
    • Если четырёхугольник и вписан, и описан, то по формуле (1) в рамке в параграфе «Площадь» имеем: .
    • Последняя формула получается из формулы площади предыдущего параграфа для описанного четырёхугольника , если учесть, что (для вписанного четырёхугольника ).
    • Поскольку четырёхугольник описан, то его площадь также равна половине его периметра p, умноженной на радиус r вписанной окружности: .
    • Другая формула площади вписанно-описанного четырёхугольника:
  • Для радиусов R и r соответственно описанной и вписанной окружностей данного четырёхугольника и расстояния d между центрами этих окружностей выполняется соотношение, представляющее четырехугольниковый аналог теоремы Эйлера (аналогичная формула Эйлера есть для треугольника):

или

.
  • Частным вписанно-описанным четырёхугольником является квадрат.

Четырёхугольники с перпендикулярными сторонами[править | править вики-текст]

  • Две противоположные стороны четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма квадратов двух других противоположных сторон равна сумме квадратов диагоналей.
  • Если у выпуклого четырёхугольника перпендикулярны две пары смежных сторон (то есть два противоположных угла прямые), то этот четырёхугольник может быть вписан в некоторую окружность. Более того, диаметром этой окружности будет служить диагональ, на которую опираются одними концами указанные две пары смежных сторон.
  • Частными четырёхугольниками с перпендикулярными сторонами являются: прямоугольник и квадрат.

Четырёхугольники с перпендикулярными диагоналями [20][править | править вики-текст]

  • Четырёхугольники с перпендикулярными диагоналями называются ортодиагональными четырёхугольниками.
  • Диагонали четырёхугольника перпендикулярны тогда и только тогда, когда суммы квадратов противоположных сторон равны.
  • Площадь ортодиагонального четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей: .
  • Средние линии четырёхугольника равны тогда и только тогда, когда равны суммы квадратов его противоположных сторон.
  • Антимедиатрисой четырёхугольника называются отрезок прямой, выходящий из середины одной его стороны и перпендикулярный противоположной ей стороне.
  • Теорема Брахмагупты. Если у четырёхугольника перпендикулярны диагонали и он может быть вписан в некоторую окружность, то четыре его антимедиатрисы пересекаются в одной точке. Более того, этой точкой пересечения антимедиатрис является точка пересечения его диагоналей.
  • Если у четырёхугольника перпендикулярны диагонали и он может быть вписан в некоторую окружность, то учетверенный квадрат её радиуса R равен сумме квадратов любой пары противоположных его сторон:
  • Если у четырёхугольника перпендикулярны диагонали и он может быть описан около некоторой окружности, то у него равны произведения двух пар противоположных сторон:
  • Параллелограмм Вариньона с вершинами в серединах сторон ортодиагональныого четырёхугольника является прямоугольником.
  • Если в четырёхугольнике перпендикулярны диагонали, то на одной окружности (окружность восьми точек четырёхугольника) лежат восемь точек: середины сторон и проекции середин сторон на противоположные стороны [21].
  • Частными ортодиагональными четырёхугольниками являются: ромб, квадрат, дельтоид.
  • Если у выпуклого четырёхугольника перпендикулярны диагонали, то середины четырёх его сторон являются вершинами прямоугольника (следствие теоремы Вариньона). Верно и обратное. Кроме того, у прямоугольника равны диагонали. Следовательно, у выпуклого четырёхугольника диагонали перпендикулярны тогда и только тогда, когда у него равны между собой длины двух его бимедиан (длины двух отрезков, соединяющих середины противоположных сторон)[22].
  • Таблица сравнения свойств описанного и ортодиагонального четырёхугольника:

Их метрические свойства очень похожи (см. табл.)[22] Здесь обозначены: a, b, c, d — длины их сторон, R1, R2, R3, R4, и радиусы описанных окружностей, проведенных через эти стороны и через точку пересечения диагоналей, h1, h2, h3, h4 — высоты, опущенные на них из точки пересечения диагоналей.

описанный четырёхугольник ортодиагональный четырёхугольник
  • Кроме того, для медиан на стороны ортодиагонального четырёхугольника, опущенных из из точки пересечения диагоналей, верно: .

Внеописанный четырёхугольник[править | править вики-текст]

  • Внеописанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, продолжения всех четырёх сторон которого являются касательными к окружности (вне четырёхугольника)[23]. Окружность называется вневписанной. Центр вневписанной окружности лежит на пересечении шести биссектрис.
  • Замечание. Вписанную, описанную, а также вневписанную окружности можно провести не у всякого четырёхугольника. Если противоположные стороны выпуклого четырёхугольника ABCD пересекаются в точках E и F, то условием его внеописанности является любое из двух условий ниже:

Свойства диагоналей некоторых четырёхугольников[править | править вики-текст]

В следующей таблице указано, есть ли у диагоналей некоторых из самых основных четырёхугольников деление пополам в точке их пересечения, есть ли перпендикулярность диагоналей, и есть ли равенство длин диагоналей[24] Список относится к наиболее общих случаев, и исчерпывает собой названные подмножества четырёхугольников.


Четырёхугольник Деление диагоналей пополам в точке их пересечения Перпендикулярность диагоналей Равенство длин диагоналей
Трапеция Нет См. замечание 1 Нет
Равнобедренная трапеция Нет См. замечание 1 Да
Параллелограмм Да Нет Нет
Дельтоид См. замечание 2 Да См. замечание 2
Прямоугольник Да Нет Да
Ромб Да Да Нет
Квадрат Да Да Да

Замечание 1: Наиболее общие трапеции и равнобедренные трапеций не имеют перпендикулярных диагоналей, но есть бесконечное число (неподобных) трапеций и равнобедренных трапеций, которые действительно имеют перпендикулярные диагонали и не похожи на какой-либо другой названный четырёхугольник. Замечание 2: У дельтоида одна диагональ делит пополам другую. Наиболее общий дельтоид имеет неодинаковые диагонали, но есть бесконечное число (неподобных) дельтоидов, у которых диагонали равны по длине (и дельтоиды не являются каким-либо другим из названных четырёхугольников).

Площадь[править | править вики-текст]

  • Площадь произвольного не самопересекающегося выпуклого четырёхугольника с диагоналями , и углом между ними (или их продолжениями), равна:

  • Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна произведению первой и второй средних линий четырёхугольника на синус угла между ними, то есть
.

Замечание. Первая и вторая средние линии четырёхугольника — отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон

  • Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника равна[7]:
, где ,  — длины диагоналей, a, b, c, d — длины сторон.
  • Площадь произвольного выпуклого четырёхугольника также равна

(1)

где p — полупериметр, а есть полусумма противоположных углов четырёхугольника (Какую именно пару противоположных углов взять роли не играет, так как если полусумма одной пары противоположных углов равна , то полусумма двух других углов будет и ). Из этой формулы для вписанных 4-угольников следует формула Брахмагупты.

где p — полупериметр, e и f -диагонали четырёхугольника.

История[править | править вики-текст]

В древности египтяне и некоторые другие народы использовали для определения площади четырёхугольника неверную формулу — произведение полусумм его противоположных сторон a, b, c, d[25]:

.

Для непрямоугольных четырёхугольников эта формула даёт завышенное значение площади. Можно предположить, что она использовалась только для определения площади почти прямоугольных участков земли. При неточном измерении сторон прямоугольника эта формула позволяет повысить точность результата за счет усреднения исходных измерений.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Стариков В.Н. Исследования по геометрии// Сборник публикаций научного журнала Globus по материалам V-й международной научно-практической конференции «Достижения и проблемы современной науки» г. Санкт-Петербург: сборник со статьями (уровень стандарта, академический уровень). С-П.: Научный журнал Globus, 2016. С. 95-97.
  2. 1 2 Четырёхугольники.
  3. E.W. Weisstein. Bimedian. MathWorld – A Wolfram Web Resource.
  4. 1 2 Quadrilateral. Special line segments. (англ. яз.) Четырёхугольник. Специальные отрезки прямых// https://en.wikipedia.org/wiki/Quadrilateral#Special_line_segments.
  5. Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду/ Под редакцией А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова. c. 118, задача 9.
  6. Стариков В.Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл. ред. Романова И .В. Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 38, правая колонка, пункт 7.
  7. 1 2 Понарин, с. 74.
  8. Стариков В.Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл. ред. Романова И.В. Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39.
  9. Дроздов В. Геронов определитель. Занимательная страница // Математика в школе, 1995, № 5, обложка.
  10. Мухлаев А. Возможно, Герон что-то утаил/ 38–я открытая областная научная конференция учащихся. Омск. 2006. C. 8/ http://gigabaza.ru/doc/66950.html.
  11. Вокруг задачи Архимеда. Упр. 8, рис. 13, c. 6 / http://www.geometry.ru/articles/aymefeuerbach.pdf.
  12. Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), "2.3 Cyclic quads", Mathematical Olympiad Treasures, Springer, сс. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8 
  13. Вокруг задачи Архимеда. Упр. 7, рис. 11, следствие, c. 5 / http://www.geometry.ru/articles/aymefeuerbach.pdf.
  14. https://en.wikipedia.org/wiki/Triangle (англ. яз.) Треугольник. См. подраздел Adjacent triangles (совмещенные треугольники).
  15. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ. Co., 2007
  16. Cyclic quadrilateral (англ. яз.). Четырехугольники, вписанные в окружность// https://en.wikipedia.org/wiki/Cyclic_quadrilateral.
  17. Стариков В.Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические науки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл. ред. Романова И .В. Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 37-39.
  18. Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду/ Под редакцией А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова. c. 118, задача 11.
  19. Стариков В.Н. Заметки по геометрии// Научный поиск: гуманитарные и социально-экономические нау-ки: сборник научных трудов. Выпуск 1/ Гл ред. Романова И .В Чебоксары: ЦДИП «INet», 2014. С. 39, левая колонка, последний абзац.
  20. Orthodiagonal quadrilateral (англ. яз.). Ортодиагональный четырёхугольник// https://en.wikipedia.org/wiki/Orthodiagonal_quadrilateral#Characterizations.
  21. Математика в задачах. Сборник материалов выездных школ команды Москвы на Всероссийскую математическую олимпиаду/ Под редакцией А. А. Заславского, Д. А. Пермякова, А. Б. Скопенкова, М. Б. Скопенкова и А. В. Шаповалова. c. 118, задача 11.
  22. 1 2 Josefsson, Martin (2012), "Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals", Forum Geometricorum Т. 12: 13–25, <http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201202.pdf> .
  23. Mirko, Zoran, Vladimir, 2007, с. 33—52.
  24. Jennifer Kahle, Geometry: Basic ideas (англ. яз.).Геометрия: Основные идеи [1], accessed 28 December 2012.
  25. Г. Г. Цейтен История математики в древности и в средние века, ГТТИ, М-Л, 1932.

Литература[править | править вики-текст]