Числа Деланноя

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Числа Деланноя (Delannoy) D(a, b) в комбинаторике описывают количества путей из левого нижнего угла прямоугольной решётки (a, b) в противоположный по диагонали угол, используя только ходы вверх, вправо или вверх-вправо («ходом короля»).

Некоторые значения[править | править вики-текст]

Для квадратной сетки n × n первые числа Деланноя (начиная с n=0) последовательность A001850 в OEIS:

1, 3, 13, 63, 321, 1683, 8989, 48639, 265729, …

Например, D(3,3)=63, так как существует 63 различных пути Деланноя в квадрате 3 × 3:

Delannoy3x3.svg

Пути, которые не поднимаются выше диагонали, описывают числа Шрёдера.

Дополнительные значения приведены в таблице:

k\n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21
2 1 5 13 25 41 61 85 113 145 181 221

Свойства[править | править вики-текст]

Числа Деланноя удовлетворяют рекуррентному соотношению: \ D(m,n)=D(m-1,n) + D(m-1,n-1) + D(m,n-1), в качестве начальных условий можно принять D(0,k)=D(k,0)=1.

Это уравнение аналогично треугольнику Паскаля для биномиальных коэффициентов C(m,n):

\ C(m,n) = C(m-1,n)+C(n-1,m)

которое относится к количеству путей между теми же вершинами, но при условии, что допустимы только ходы по сторонам клеток.

Если учесть места, в которых пути пересекают диагональ, то можно вывести связь между числами Деланноя и биномиальными коэффициентами[1]:

\ D(m,n)=\sum_{k=0}^m C(m,k)C(n+m-k,m)=\sum_{k=0}^m 2^k C(m,k)C(n,m)

Производящая функция для чисел:

\sum_{p,q=1}^\infty D(p,q)x^p y^q = \frac{1}{1-x-y-x y}

Когда рассматриваются пути в квадрате, числа Деланноя равны:

D(n)=D(n,n)=P_n(3), где P_n(x) — полином Лежандра.

Другие свойства для них:

D(n)=\frac{3(2n-1)D(n-1)-(n-1)D(n-2)}{n}
\sum_{n=1}^\infty D(n)x^n = \frac{1}\sqrt{1-6x+x^2}=1+3x+13x^2+63x^3+321x^4+\ldots

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Martin Aigner A course in enumeration. — Springer, 2007. — С. 19. — ISBN 978-3-540-39032-4.