Числа Пизо

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Число Пизо[1][2] (или число Пизо—Виджаярагхавана[3][4], или PV-число) — всякое вещественное алгебраическое число, большее единицы, абсолютная величина всех сопряженных которого строго меньше единицы.

Свойства[править | править исходный текст]

Степени чисел Пизо становятся всё более и более близкими к целым числам. Пизо доказал, что это свойство — характеристическое: если вещественное число \alpha>1 таково, что последовательность расстояний \|\alpha^n\|[5] от его степеней до множества целых чисел принадлежит l_2, то \alpha — число Пизо (и, в частности, \alpha — алгебраическое).

Известны[2] все числа Пизо, не превосходящие золотого сечения. Наименьшим числом Пизо является единственный вещественный корень кубического уравнения x^3-x-1=0, известный как пластическое число.

Квадратные иррациональности, являющиеся числами Пизо:

Значение Корень... Числовое значение
\frac{1+\sqrt{5}}{2} x^2-x-1 1.618034... (золотое сечение)
1+\sqrt{2}\, x^2-2x-1 2.414214... (серебряное сечение)
\frac{3+\sqrt{5}}{2} x^2-3x+1 2.618034... A104457
1+\sqrt{3}\, x^2-2x-2 2.732051... A090388
\frac{3+\sqrt{13}}{2} x^2-3x-1 3.302776... A098316
2+\sqrt{2}\, x^2-4x+2 3.414214...
\frac{3+\sqrt{17}}{2} x^2-3x-2 3.561553.. A178255.
2+\sqrt{3}\, x^2-4x+1 3.732051... A019973
\frac{3+\sqrt{21}}{2} x^2-3x-3 3.791288...A090458
2+\sqrt{5}\, x^2-4x-1 4.236068... A098317

Примечания[править | править исходный текст]

  1. А. Егоров Числа Пизо // Квант. — 2005. — № 5. — С. 8—13.
    А. Егоров Числа Пизо (окончание) // Квант. — 2005. — № 6. — С. 9—13.
  2. 1 2 Terr, David; Weisstein, Eric W. Pisot Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  3. В. Н. Берестовский, Ю. Г. Никоноров Цепные дроби, группа GL(2,Z) и числа Пизо // Математические труды. — 2007. — Т. 10. — № 1. — С. 97–131.
  4. Дж. В. С. Касселс Введение в теорию диофантовых приближений. — 1961.
  5. Здесь \|a\| обозначает расстояние от a до \Z, то есть \min(\{a\},1-\{a\}), где  \{a\} дробная часть числа  a .