Числа Пизо

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Число Пизо[1][2] (или число Пизо—Виджаярагхавана[3][4], или PV-число) — всякое вещественное алгебраическое целое число, большее единицы, абсолютная величина всех сопряжённых которого строго меньше единицы. Эти числа открыты Акселем Туэ в 1912 году[5], изучались Годфри Харди с 1919 в связи с диофантовыми приближениями[6], но получили известность после публикации диссертации Шарля Пизо в 1938[7]. Исследования продолжили Тирукканнапурам Виджаярагхаван и Рафаэль Салем в 1940-х годах.

С числами Пизо тесно связаны числа Салема.

Свойства[править | править код]

Степени чисел Пизо становятся всё более и более близкими к целым числам. Пизо доказал, что это свойство — характеристическое: если вещественное число таково, что последовательность расстояний [8] от его степеней до множества целых чисел принадлежит , то  — число Пизо (и, в частности,  — алгебраическое).

Известны[2] все числа Пизо, не превосходящие золотого сечения. Наименьшим числом Пизо является единственный вещественный корень кубического уравнения , известный как пластическое число.

Квадратные иррациональности, являющиеся числами Пизо:

Значение Корень… Числовое значение
1.618034… (золотое сечение)
2.414214… (серебряное сечение)
2.618034… A104457
2.732051… A090388
3.302776… A098316 (бронзовое сечение)
3.414214…
3.561553.. A178255.
3.732051… A019973
3.791288…A090458
4.236068… A098317 (медное сечение)[источник не указан 24 дня]

Примечания[править | править код]

  1. А. Егоров Числа Пизо // Квант. — 2005. — № 5. — С. 8—13.
    А. Егоров Числа Пизо (окончание) // Квант. — 2005. — № 6. — С. 9—13.
  2. 1 2 Terr, David; Weisstein, Eric W. Pisot Number (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  3. В. Н. Берестовский, Ю. Г. Никоноров Цепные дроби, группа GL(2,Z) и числа Пизо // Математические труды. — 2007. — Т. 10, № 1. — С. 97–131.
  4. Дж. В. С. Касселс. Введение в теорию диофантовых приближений. — 1961.
  5. Axel Thue, " Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Grösse haben kann ", Christiania Vidensk. selsk. Skrifter, vol. 2, 1912, p. 1-15.
  6. Godfrey H. Hardy, " A problem of diophantine approximation ", Journal Ind. Math. Soc., vol. 11, 1919, pp. 205—243.
  7. Charles Pisot, " La répartition modulo 1 et les nombres algébriques ", Ann. Sc. Norm. Super. Pisa, II, Ser. 7, 1938, p. 205—248.
  8. Здесь обозначает расстояние от до , то есть , где  — дробная часть числа .