Числа Ферма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Чи́сла Ферма́ — числа вида , где n — неотрицательное целое число.

Числа Ферма для образуют последовательность:

3, 5, 17, 257, 65537 (последовательность A000215 в OEIS)

История[править | править вики-текст]

Изучение чисел такого вида начал Ферма, который выдвинул гипотезу, что все они простые. Однако эта гипотеза была опровергнута Эйлером в 1732 году, нашедшим разложение числа на простые сомножители:

Во времена Ферма считалось верным утверждение, что если , то  — простое[источник не указан 321 день]. Это утверждение оказалось неверным (контрпример: ), однако, по мнению Т. Банахевича, именно оно могло побудить Ферма выдвинуть свою гипотезу, так как утверждение верно при всех .[1]

Свойства[править | править вики-текст]

и поэтому не является простым.
  • Простоту чисел Ферма можно эффективно установить с помощью теста Пепина.
  • На январь 2016 года известно лишь 5 простых чисел Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537 (последовательность A019434 в OEIS). Существование других простых чисел Ферма является открытой проблемой.
  • Известно, что являются составными при
  • Десятичная запись чисел Ферма, больших 5, оканчивается на 17, 37, 57 или 97.
  • Каждый делитель числа при имеет вид: (Эйлер, Люка, 1878).

Простые числа Ферма[править | править вики-текст]

На 2017 год известны только 5 простых чисел Ферма, при

Разложение на простые[править | править вики-текст]

Всего по состоянию на март 2017 года известно 336 разложений на простые числа чисел Ферма, и 292 числа Ферма для которых доказано, что они составные, но их разложение на простые числа неизвестно. Несколько новых разложений на простые числа чисел Ферма находят каждый год.

Ниже приведено разложение чисел Ферма на простые сомножители, при

Обобщённые числа Ферма[править | править вики-текст]

Обобщённые числа Ферма — числа вида . Числа Ферма являются обобщёнными числами Ферма для и

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]