Числа Ферма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Чи́сла Ферма́ — числа вида , где n — неотрицательное целое число.

Числа Ферма для образуют последовательность:

3, 5, 17, 257, 65537 (последовательность A000215 в OEIS)

История[править | править вики-текст]

Изучение чисел такого вида начал Ферма, который выдвинул гипотезу, что все они простые. Однако, эта гипотеза была опровергнута Эйлером в 1732 году, нашедшим разложение числа на простые сомножители:

Во времена Ферма считалось верным утверждение, что если , то  — простое. Это утверждение оказалось не верным (контрпример — ), однако, по мнению Т. Банахевича, именно она могла побудить Ферма выдвинуть свою гипотезу, так как утверждение верно при всех .[1]

Свойства[править | править вики-текст]

и поэтому не является простым.
  • Простоту чисел Ферма можно эффективно установить с помощью теста Пепина.
  • На январь 2016 года известно лишь 5 простых чисел Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537 (последовательность A019434 в OEIS). Существование других простых чисел Ферма является открытой проблемой.
  • Известно, что являются составными при .
  • Десятичная запись чисел Ферма, больших 5, оканчивается на 7.
  • Каждый делитель числа при имеет вид (Эйлер, Люка, 1878).

Разложение на простые и простые числа Ферма[править | править вики-текст]

На 2016 г. известны только 5 простых чисел Ферма, при

Обобщённые числа Ферма[править | править вики-текст]

Обобщённые числа Ферма — числа вида . Числа Ферма являются обобщёнными числами Ферма для a = 2 и b = 1.

Примечания[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]