Число Ферма

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Числа Ферма»)
Перейти к: навигация, поиск

Чи́сло Ферма́ — число вида , где  — неотрицательное целое число.

Числа Ферма для образуют последовательность[1]:

3, 5, 17, 257, 65537

История[править | править код]

Изучение чисел такого вида начал Ферма, который выдвинул гипотезу, что все они простые. Однако эта гипотеза была опровергнута Эйлером в 1732 году, нашедшим разложение числа на простые сомножители:

.

Во времена Ферма считалось верным утверждение, что если , то  — простое[источник не указан 411 дней]. Это утверждение оказалось неверным (контрпример: ), однако, по мнению Тадеуша Банахевича, именно оно могло побудить Ферма выдвинуть свою гипотезу, так как утверждение верно при всех .[2]

Свойства[править | править код]

и поэтому не является простым.
  • Простоту чисел Ферма можно эффективно установить с помощью теста Пепина.
  • На январь 2016 года известно лишь 5 простых чисел Ферма: 3, 5, 17, 257, 65537[3]. Существование других простых чисел Ферма является открытой проблемой.
  • Известно, что являются составными при
  • Десятичная запись чисел Ферма, больших 5, оканчивается на 17, 37, 57 или 97.
  • Каждый делитель числа при имеет вид: (Эйлер, Люка, 1878).

Простые числа Ферма[править | править код]

На 2017 год известны только 5 простых чисел Ферма, при

,
,
,
,
.

Разложение на простые[править | править код]

Всего по состоянию на март 2017 года известно 336 разложений на простые числа чисел Ферма, и 292 числа Ферма для которых доказано, что они составные, но их разложение на простые числа неизвестно. Несколько новых разложений на простые числа чисел Ферма находят каждый год.

Ниже приведено разложение чисел Ферма на простые сомножители, при

Обобщённые числа Ферма[править | править код]

Обобщённое число Ферма — число вида . Числа Ферма являются обобщёнными числами Ферма для и .

Примечания[править | править код]

  1. последовательность A000215 в OEIS
  2. В. Серпинский. 250 задач по теории чисел. — Просвещение, 1968.
  3. последовательность A019434 в OEIS

Ссылки[править | править код]