Числовой ряд

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Числовой ряд — числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Рассматриваются числовые ряды двух видов:

Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов.

Числовые ряды применяются в качестве системы приближений к числам.

Обобщением понятия ряда является понятие двойного ряда.

Сумма числового ряда определяется как предел, к которому стремятся суммы первых n слагаемых ряда, когда n неограниченно растёт. Если такой предел существует и конечен, то говорят, что ряд сходится, в противном случае — что он расходится[1].

Определение[править | править код]

Пусть  — числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность

каждый элемент которой представляет собой сумму первых k членов исходной последовательности, называемой частичной суммой вида:

Рядом называется совокупность этих двух последовательностей. Вообще, для обозначения ряда используется символ:

поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.

В соответствии с этим говорится о сходимости числового ряда:

  • числовой ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм;
  • числовой ряд расходится, если предел частичных сумм не существует или бесконечен;
  • числовой ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.

Если числовой ряд сходится, то предел последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:

Таким образом, если существует число , то в этом случае пишут .

Дальнейшим обобщением понятия суммы ряда является понятие суммирующей функции ряда.

Операции над рядами[править | править код]

Пусть заданы сходящиеся ряды и . Тогда:

  • Их суммой называется ряд
  • Их произведением по Коши называется ряд , где

Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится. Если оба ряда сходятся абсолютно, то их сумма сходится абсолютно. Если хотя бы один из рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится.

Необходимый признак сходимости ряда[править | править код]

Ряд может сходиться лишь в том случае, когда член (общий член ряда) стремится к нулю:

Это необходимый признак сходимости ряда (но не достаточный!). Если же общий член ряда не стремится к нулю — это достаточный признак расходимости.

Критерий абсолютной сходимости[править | править код]

Ряд из действительных чисел сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся два ряда: ряд из положительных его членов и ряд из отрицательных членов.

Сходимость числовых рядов[править | править код]

Свойство 1. Если ряд

  (1.1)

сходится и его сумма равна S, то ряд

 (1.2)

где c — произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1.1) расходится и с ≠ 0, то ряд (1.2) расходится.

Свойство 2. Если сходится ряд (1.1) и сходится ряд

,

а их суммы равны и соответственно, то сходятся и ряды

,

причём сумма каждого равна соответственно .

Примеры[править | править код]

Анимация, показывающая сходимость частичных сумм геометрической прогрессии (красная линия) к её сумме (синия линия) при .
  • где  — сумма геометрической прогрессии, в частности
  • сходится для любой константы α>1, в частности
  •  — гармонический ряд расходится. Расходится и ряд .
  •  — телескопический ряд.

Примечания[править | править код]

  1. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Указ. соч., глава 11.

Литература[править | править код]

  • В. А. Зорич. Глава III. Предел. § 1. Предел последовательности // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 104—114. — 544 с.