Числовой ряд

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Числовой ряд — числовая последовательность, рассматриваемая вместе с другой последовательностью, которая называется последовательностью частичных сумм (ряда).

Рассматриваются числовые ряды двух видов:

Важнейший вопрос исследования числовых рядов — это сходимость числовых рядов.

Числовые ряды применяются в качестве системы приближений к числам.

Обобщением понятия ряда является понятие двойного ряда.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть  — числовая последовательность; рассмотрим наравне с данной последовательностью последовательность

каждый элемент которой представляет собой сумму первых k членов исходной последовательности, называемой частичной суммой вида:

Рядом называется совокупность этих двух последовательностей. Вообще, для обозначения ряда используется символ:

поскольку здесь указана исходная последовательность элементов ряда, а также правило суммирования.

В соответствии с этим говорится о сходимости числового ряда:

  • числовой ряд сходится, если сходится последовательность его частичных сумм;
  • числовой ряд расходится, если расходится последовательность его частичных сумм;
  • числовой ряд сходится абсолютно, если сходится ряд из модулей его членов.

Если числовой ряд сходится, то предел последовательности его частичных сумм носит название суммы ряда:

Операции над рядами[править | править вики-текст]

Пусть заданы сходящиеся ряды и . Тогда:

  • Их суммой называется ряд
  • Их произведением по Коши называется ряд , где

Если оба ряда сходятся, то их сумма сходится. Если оба ряда сходятся абсолютно, то их сумма сходится абсолютно. Если хотя бы один из рядов сходится абсолютно, то произведение рядов сходится.

Критерий абсолютной сходимости[править | править вики-текст]

Ряд из действительных чисел сходится абсолютно тогда и только тогда, когда сходятся оба ряда: ряд из положительных его членов и ряд из отрицательных членов.


Литература[править | править вики-текст]

  • В. А. Зорич. Глава III. Предел. § 1. Предел последовательности // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — С. 104—114. — 544 с.