Числовое неравенство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Числовые неравенства»)
Перейти к: навигация, поиск

Числовое неравенство — неравенство между вещественными числами: если два вещественных числа и соединены знаком неравенства или одним из любых отношений порядка: или или или же , установленных между числами, то говорят, что задано числовое неравенство.

Связанные определения[править | править вики-текст]

Неравенства отношений , называют строгими, неравенства , называют нестрогими.

Неравенства отношений и , а также неравенства и называются неравенствами одного знака (одного смысла), неравенства и , а также и ,< и , и называются неравенствами разного смысла (разного знака).

Неравенство называется точным, если его нельзя улучшить. Например, является точным, а  — нет.

Числовые неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются[1] на алгебраические и трансцендентные. Алгебраические неравенства, в свою очередь, подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. Например, неравенство  — алгебраическое первой степени, неравенство  — алгебраическое третьей степени, неравенство  — трансцендентное.

Свойства числовых неравенств[править | править вики-текст]

Некоторые свойства числовых неравенств:

  • если , тогда ;
  • если и , то ;
  • если , то для любого ;
  • если , то для любого ;
  • если , то для любого ;
  • если и , то (возможность почленного сложения неравенств одинакового смысла);
  • если и , то (возможность почленного вычитания неравенств разного смысла);
  • если , и , , то (возможность почленного умножения неравенств одинакового смысла);
  • если и , то (возможность почленного деления неравенств разного смысла).

Решение неравенств[править | править вики-текст]

Неравенства второй степени[править | править вики-текст]

Решение неравенства второй степени вида или можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых квадратичная функция принимает положительные или отрицательные значения (промежутки знакопостоянства).

Например, неравенство может быть решено путём нахождения нулей функции и выбором соответствующих интервалов, в которых функция принимает отрицательные значения, а так как нули функции — , искомый интервал — .

Метод интервалов[править | править вики-текст]

Для решения неравенства вида:

необходимо:

  • разбить ось на интервалы знакопостоянства,
  • поставить в каждом таком интервале знак неравенства на этом интервале (, если больше нуля, если меньше),
  • выбрать те интервалы, где стоит знак начального неравенства.

Крайними точками интервалов будут , и нули функций .

Решение иррациональных неравенств[править | править вики-текст]

Для решения иррациональных неравенств часто применяют следующие равносильные переходы:

Например, решение неравенства получается применением равносильных переходов следующим образом:

,

то есть решение — .

Примечания[править | править вики-текст]

  1. М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике», М., 1974

Литература[править | править вики-текст]

  • Будак А. Б., Щедрин Б. М. Элементарная математика.