Числовое неравенство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Числовые неравенства»)
Перейти к: навигация, поиск

Числовое неравенство — неравенство между вещественными числами: если два вещественных числа a и b соединены знаком неравенства \neq или одним из любых отношений порядка: a > b или a < b или a \geqslant b или же a \leqslant b, установленных между числами, то говорят, что задано числовое неравенство.

Связанные определения[править | править вики-текст]

Неравенства отношений >, < называют строгими, неравенства  \geqslant , \leqslant называют нестрогими.

Неравенства отношений < и \leqslant, а также неравенства > и  \geqslant называются неравенствами одного знака (одного смысла), неравенства < и >, а также > и  \leqslant ,< и  \geqslant ,  \leqslant и  \geqslant называются неравенствами разного смысла (разного знака).

Неравенство называется точным, если его нельзя улучшить. Например (x+1)^2+(x-1)^2\geqslant 2 является точным, а (x+1)^2+(x-1)^2\geqslant 0 — нет.

Числовые неравенства, содержащие неизвестные величины, подразделяются[1] на алгебраические и трансцендентные. Алгебраические неравенства, в свою очередь, подразделяются на неравенства первой степени, второй степени и так далее. Например, неравенство  18x < 414 — алгебраическое первой степени, неравенство  2x^3-7x+6 > 0  — алгебраическое третьей степени, неравенство 2^x > x+4  — трансцендентное.

Свойства числовых неравенств[править | править вики-текст]

Некоторые свойства числовых неравенств:

  • если a > b, тогда  b < a;
  • если a > b и  b > c , то  a > c;
  • если a > b, то для любого  c \,\,\, a + c > b + c;
  • если a > b, то для любого  c > 0 \,\,\, ac > bc;
  • если a > b, то для любого  c < 0 \,\,\, ac < bc;
  • если a > b и c > d, то  a + c > b + d (возможность почленного сложения неравенств одинакового смысла);
  • если a > b и c < d, то  a - c > b - d (возможность почленного вычитания неравенств разного смысла);
  • если a > b, b \geqslant 0 и c > d, d  \geqslant 0 , то  ac > bd (возможность почленного умножения неравенств одинакового смысла);
  • если a > b, \,\,\, b  \geqslant 0 и c<d,\,\,\, d>0, c>0, то a/c > b/d (возможность почленного деления неравенств разного смысла).

Решение неравенств[править | править вики-текст]

Неравенства второй степени[править | править вики-текст]

Решение неравенства второй степени вида ax^2+bx+c > 0 или  ax^2+bx+c < 0 можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых квадратичная функция f(x) = ax^2+bx+c принимает положительные или отрицательные значения (промежутки знакопостоянства).

Например, неравенство x^2-x-6\leqslant0 может быть решено путём нахождения нулей функции f\left(x\right)=x^{2}-x-6 и выбором соответствующих интервалов, в которых функция принимает отрицательные значения, а так как нули функции — x_{1}=3; x_{2}=-2, искомый интервал — x\in[-2;3].

Метод интервалов[править | править вики-текст]

Для решения неравенства вида:

f_1(x)\cdot f_2(x)\cdot f_3(x)\cdot f_4(x)\cdot\ldots\cdot f_N(x) > 0

необходимо:

  • разбить ось OX на интервалы знакопостоянства,
  • поставить в каждом таком интервале знак неравенства на этом интервале (+, если больше нуля, - если меньше),
  • выбрать те интервалы, где стоит знак начального неравенства.

Крайними точками интервалов будут -\infty, +\infty и нули функций f_1(x), f_2(x), f_3(x), f_4(x) \ldots f_N(x).

Решение иррациональных неравенств[править | править вики-текст]

Для решения иррациональных неравенств часто применяют следующие равносильные переходы:

\sqrt{f(x)} < g(x) \Longleftrightarrow \begin{cases} f(x) < g^2(x) \\ g(x) \geqslant 0 \\ f(x)\geqslant 0
\end{cases}
\sqrt{f\left(x\right)}>g\left(x\right)\Longleftrightarrow\left[\begin{array}{cc}
\begin{cases}
f\left(x\right)>\left(g\left(x\right)\right)^{2}\\
g\left(x\right)\geqslant0
\end{cases}\\
\begin{cases}
f\left(x\right)\geqslant0\\
g\left(x\right)<0
 \end{cases}
\end{array}\right.
\sqrt{f\left(x\right)}<\sqrt{g\left(x\right)}\Longleftrightarrow\begin{cases}
f\left(x\right)<g\left(x\right)\\
f\left(x\right)\geqslant0
\end{cases}

Например, решение неравенства \sqrt{x^{3}-x^{2}}>\sqrt{x-1} получается применением равносильных переходов следующим образом:

\sqrt{x^{3}-x^{2}}>\sqrt{x-1}\Longleftrightarrow
 \begin{cases}
x^{3}-x^{2}>x-1,\\
x-1\geqslant0\end{cases}\Longleftrightarrow  \begin{cases}
x^{2}\left(x-1\right)-\left(x-1\right)>0,\\
x\geqslant1 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases}
x>-1,x\not=1\\
x\geqslant1
\end{cases}
 ,

то есть решение — (1,+\infty).

Примечания[править | править вики-текст]

  1. М. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике», М., 1974

Литература[править | править вики-текст]

  • Будак А. Б., Щедрин Б. М. Элементарная математика.