n -ое число такси , обычно обозначаемое Ta(n ) или Taxicab(n ), определяется как наименьшее число, которое может быть представлено как сумма двух положительных кубов n различными способами. Наиболее известное число такси — 1729 = Ta(2) = 13 + 123 = 93 + 103 .
Название чи́сла получили из разговора в 1919 математиков Г. Х. Харди и Сриниваса Рамануджана . Харди рассказывал:
Я помню, пришёл раз навестить его (Рамануджана), лежащего в больнице в Питни. Я приехал на такси с номером 1729 и заметил в разговоре, что число скучное, и что я надеюсь, что это не является неблагоприятным знаком. «Нет, — ответил тот, — число очень интересно, это наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы кубов двумя различными способами!»[1] [2]
Концепция впервые была упомянута в 1657 Бернаром Френиклем де Бесси и стала знаменитой в начале 20-го века благодаря Сринивасу Рамануджану . В 1938 Харди и Райт доказали, что такие числа существуют для всех положительных целых чисел n , и их доказательство легко превратить в программу для генерации таких чисел. Однако это доказательство не заботится о том, чтобы это число было минимальным , так что его нельзя использовать для поиска фактических значений Ta(n ).
Ограничение на знак членов суммы необходимо, поскольку допущение отрицательных значений позволяет представить большее количество (и меньших) чисел выразить в виде суммы кубов n различными способами. Концепция числа извозчика [en] была предложена как менее ограничивающая альтернатива. В известном смысле количество слагаемых (два) и степень (куб) также является существенным ограничением. Обобщённое число такси ставит задачу для и для более чем двух слагаемых при произвольной степени.
Известны следующие шесть чисел такси последовательность A011541 в OEIS :
Ta
(
1
)
=
2
=
1
3
+
1
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (1)=2&=1^{3}+1^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
2
)
=
1729
=
1
3
+
12
3
=
9
3
+
10
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (2)=1729&=1^{3}+12^{3}\\&=9^{3}+10^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
3
)
=
87539319
=
167
3
+
436
3
=
228
3
+
423
3
=
255
3
+
414
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (3)=87539319&=167^{3}+436^{3}\\&=228^{3}+423^{3}\\&=255^{3}+414^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
4
)
=
6963472309248
=
2421
3
+
19083
3
=
5436
3
+
18948
3
=
10200
3
+
18072
3
=
13322
3
+
16630
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (4)=6963472309248&=2421^{3}+19083^{3}\\&=5436^{3}+18948^{3}\\&=10200^{3}+18072^{3}\\&=13322^{3}+16630^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
5
)
=
48988659276962496
=
38787
3
+
365757
3
=
107839
3
+
362753
3
=
205292
3
+
342952
3
=
221424
3
+
336588
3
=
231518
3
+
331954
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (5)=48988659276962496&=38787^{3}+365757^{3}\\&=107839^{3}+362753^{3}\\&=205292^{3}+342952^{3}\\&=221424^{3}+336588^{3}\\&=231518^{3}+331954^{3}\end{aligned}}}
Ta
(
6
)
=
24153319581254312065344
=
582162
3
+
28906206
3
=
3064173
3
+
28894803
3
=
8519281
3
+
28657487
3
=
16218068
3
+
27093208
3
=
17492496
3
+
26590452
3
=
18289922
3
+
26224366
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Ta} (6)=24153319581254312065344&=582162^{3}+28906206^{3}\\&=3064173^{3}+28894803^{3}\\&=8519281^{3}+28657487^{3}\\&=16218068^{3}+27093208^{3}\\&=17492496^{3}+26590452^{3}\\&=18289922^{3}+26224366^{3}\end{aligned}}}
Известны числа, которые можно представить суммами более 6 кубов, но для них не доказано, что они минимальные числа, обладающие этим свойством.[3]
Ta
(
7
)
≤
24885189317885898975235988544
=
2648660966
3
+
1847282122
3
=
2685635652
3
+
1766742096
3
=
2736414008
3
+
1638024868
3
=
2894406187
3
+
860447381
3
=
2915734948
3
+
459531128
3
=
2918375103
3
+
309481473
3
=
2919526806
3
+
58798362
3
{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (7)&\leq &24885189317885898975235988544\\&=&2648660966^{3}+1847282122^{3}\\&=&2685635652^{3}+1766742096^{3}\\&=&2736414008^{3}+1638024868^{3}\\&=&2894406187^{3}+860447381^{3}\\&=&2915734948^{3}+459531128^{3}\\&=&2918375103^{3}+309481473^{3}\\&=&2919526806^{3}+58798362^{3}\\\\\end{matrix}}}
Ta
(
8
)
≤
50974398750539071400590819921724352
=
299512063576
3
+
288873662876
3
=
336379942682
3
+
234604829494
3
=
341075727804
3
+
224376246192
3
=
347524579016
3
+
208029158236
3
=
367589585749
3
+
109276817387
3
=
370298338396
3
+
58360453256
3
=
370633638081
3
+
39304147071
3
=
370779904362
3
+
7467391974
3
{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (8)&\leq &50974398750539071400590819921724352\\&=&299512063576^{3}+288873662876^{3}\\&=&336379942682^{3}+234604829494^{3}\\&=&341075727804^{3}+224376246192^{3}\\&=&347524579016^{3}+208029158236^{3}\\&=&367589585749^{3}+109276817387^{3}\\&=&370298338396^{3}+58360453256^{3}\\&=&370633638081^{3}+39304147071^{3}\\&=&370779904362^{3}+7467391974^{3}\\\\\end{matrix}}}
Ta
(
9
)
≤
136897813798023990395783317207361432493888
=
41632176837064
3
+
40153439139764
3
=
46756812032798
3
+
32610071299666
3
=
47409526164756
3
+
31188298220688
3
=
48305916483224
3
+
28916052994804
3
=
51094952419111
3
+
15189477616793
3
=
51471469037044
3
+
8112103002584
3
=
51518075693259
3
+
5463276442869
3
=
51530042142656
3
+
4076877805588
3
=
51538406706318
3
+
1037967484386
3
{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (9)&\leq &136897813798023990395783317207361432493888\\&=&41632176837064^{3}+40153439139764^{3}\\&=&46756812032798^{3}+32610071299666^{3}\\&=&47409526164756^{3}+31188298220688^{3}\\&=&48305916483224^{3}+28916052994804^{3}\\&=&51094952419111^{3}+15189477616793^{3}\\&=&51471469037044^{3}+8112103002584^{3}\\&=&51518075693259^{3}+5463276442869^{3}\\&=&51530042142656^{3}+4076877805588^{3}\\&=&51538406706318^{3}+1037967484386^{3}\\\\\end{matrix}}}
Ta
(
10
)
≤
7335345315241855602572782233444632535674275447104
=
15695330667573128
3
+
15137846555691028
3
=
17627318136364846
3
+
12293996879974082
3
=
17873391364113012
3
+
11757988429199376
3
=
18211330514175448
3
+
10901351979041108
3
=
19262797062004847
3
+
5726433061530961
3
=
19404743826965588
3
+
3058262831974168
3
=
19422314536358643
3
+
2059655218961613
3
=
19426825887781312
3
+
1536982932706676
3
=
19429379778270560
3
+
904069333568884
3
=
19429979328281886
3
+
391313741613522
3
{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (10)&\leq &7335345315241855602572782233444632535674275447104\\&=&15695330667573128^{3}+15137846555691028^{3}\\&=&17627318136364846^{3}+12293996879974082^{3}\\&=&17873391364113012^{3}+11757988429199376^{3}\\&=&18211330514175448^{3}+10901351979041108^{3}\\&=&19262797062004847^{3}+5726433061530961^{3}\\&=&19404743826965588^{3}+3058262831974168^{3}\\&=&19422314536358643^{3}+2059655218961613^{3}\\&=&19426825887781312^{3}+1536982932706676^{3}\\&=&19429379778270560^{3}+904069333568884^{3}\\&=&19429979328281886^{3}+391313741613522^{3}\\\\\end{matrix}}}
Ta
(
11
)
≤
2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632
=
11410505395325664056
3
+
11005214445987377356
3
=
12815060285137243042
3
+
8937735731741157614
3
=
12993955521710159724
3
+
8548057588027946352
3
=
13239637283805550696
3
+
7925282888762885516
3
=
13600192974314732786
3
+
6716379921779399326
3
=
14004053464077523769
3
+
4163116835733008647
3
=
14107248762203982476
3
+
2223357078845220136
3
=
14120022667932733461
3
+
1497369344185092651
3
=
14123302420417013824
3
+
1117386592077753452
3
=
14125159098802697120
3
+
657258405504578668
3
=
14125594971660931122
3
+
284485090153030494
3
{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (11)&\leq &2818537360434849382734382145310807703728251895897826621632\\&=&11410505395325664056^{3}+11005214445987377356^{3}\\&=&12815060285137243042^{3}+8937735731741157614^{3}\\&=&12993955521710159724^{3}+8548057588027946352^{3}\\&=&13239637283805550696^{3}+7925282888762885516^{3}\\&=&13600192974314732786^{3}+6716379921779399326^{3}\\&=&14004053464077523769^{3}+4163116835733008647^{3}\\&=&14107248762203982476^{3}+2223357078845220136^{3}\\&=&14120022667932733461^{3}+1497369344185092651^{3}\\&=&14123302420417013824^{3}+1117386592077753452^{3}\\&=&14125159098802697120^{3}+657258405504578668^{3}\\&=&14125594971660931122^{3}+284485090153030494^{3}\\\\\end{matrix}}}
Ta
(
12
)
≤
73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152
=
33900611529512547910376
3
+
32696492119028498124676
3
=
38073544107142749077782
3
+
26554012859002979271194
3
=
38605041855000884540004
3
+
25396279094031028611792
3
=
39334962370186291117816
3
+
23546015462514532868036
3
=
40406173326689071107206
3
+
19954364747606595397546
3
=
41606042841774323117699
3
+
12368620118962768690237
3
=
41912636072508031936196
3
+
6605593881249149024056
3
=
41950587346428151112631
3
+
4448684321573910266121
3
=
41960331491058948071104
3
+
3319755565063005505892
3
=
41965847682542813143520
3
+
1952714722754103222628
3
=
41965889731136229476526
3
+
1933097542618122241026
3
=
41967142660804626363462
3
+
845205202844653597674
3
{\displaystyle {\begin{matrix}\operatorname {Ta} (12)&\leq &73914858746493893996583617733225161086864012865017882136931801625152\\&=&33900611529512547910376^{3}+32696492119028498124676^{3}\\&=&38073544107142749077782^{3}+26554012859002979271194^{3}\\&=&38605041855000884540004^{3}+25396279094031028611792^{3}\\&=&39334962370186291117816^{3}+23546015462514532868036^{3}\\&=&40406173326689071107206^{3}+19954364747606595397546^{3}\\&=&41606042841774323117699^{3}+12368620118962768690237^{3}\\&=&41912636072508031936196^{3}+6605593881249149024056^{3}\\&=&41950587346428151112631^{3}+4448684321573910266121^{3}\\&=&41960331491058948071104^{3}+3319755565063005505892^{3}\\&=&41965847682542813143520^{3}+1952714722754103222628^{3}\\&=&41965889731136229476526^{3}+1933097542618122241026^{3}\\&=&41967142660804626363462^{3}+845205202844653597674^{3}\end{matrix}}}
Число Ta(2), известное также как число Харди –Рамануджана , первым опубликовал Бернар Френикль де Бесси в 1657 году.[4]
Джон Лич получил Ta(3) в 1957. Е. Розенталь, Дж. А. Дардис и К. Р. Розенталь нашли Ta(4) в 1989 [5] . Дж. А. Дардис нашёл Ta(5) в 1994 и подтвердил Дэвид В. Уилсон в 1999 [6] [7] . О числе Ta(6) объявил Уве Холлербах на сайте NMBRTHRY (Number Theory Wiki) 9 марта 2008 [8] [9] . Верхние границы для чисел Ta(7) — Ta(12) нашёл Христиан Бойер в 2006[3] .
Задача чисел такси с более строгими ограничениями, в которой требуется, чтобы числа не содержали кубы, то есть что числа не делились на кубы чисел, отличных от 13 . Тогда число такси T записывается как T = x 3 + y 3 , где числа x и y должны быть взаимно просты. Среди чисел такси Ta(n), перечисленных выше, только Ta(1) и Ta(2) не содержат кубов. Наименьшее число такси без кубов с тремя вариантами представления обнаружил Поль Войта [en] (не опубликовано) в 1981, когда он был аспирантом. Это число
15170835645
= 5173 + 24683
= 7093 + 24563
= 17333 + 21523 .
Наименьшее число такси без кубов с четырьмя вариантами представления обнаружил Стюарт Гаскойн и, независимо, Дункан Мур в 2003. Это число
1801049058342701083
= 922273 + 12165003
= 1366353 + 12161023
= 3419953 + 12076023
= 6002593 + 11658843
последовательность A080642 в OEIS .
↑ Quotations by G. H. Hardy, MacTutor History of Mathematics Архивировано 16 июля 2012 года.
↑ Silverman, 1993 , с. 331–340.
↑ 1 2 "'New Upper Bounds for Taxicab and Cabtaxi Numbers" Christian Boyer, France, 2006–2008
↑ Thomas Ward, G. Everest. An Introduction to Number Theory (неопр.) . — London: Springer Science+Business Media , 2005. — С. 117 —118. — ISBN 9781852339173 . .
↑ Numbers Count column, Personal Computer World, page 234, November 1989
↑ Numbers Count column of Personal Computer World, page 610, Feb 1995
↑ "The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496" by David W. Wilson
↑ NMBRTHRY Archives – March 2008 (#10) "The sixth taxicab number is 24153319581254312065344" by Uwe Hollerbach
↑ C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), pp. 1196–1203
Joseph H. Silverman. Taxicabs and sums of two cubes // Amer. Math. Monthly. — 1993. — Т. 100 . — С. 331—340 . — doi :10.2307/2324954 .
G. H. Hardy, E. M. Wright. Thm. 412 // An Introduction to the Theory of Numbers (англ.) . — 3rd ed.. — London & NY: Oxford University Press, 1954.
J. Leech. Some Solutions of Diophantine Equations // Proc. Cambridge Phil. Soc.. — 1957. — Вып. 53 . — С. 778—780 .
E. Rosenstiel, J. A. Dardis, C. R. Rosenstiel. online The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equations = x3 + y3 = z3 + w3 = u3 + v3 = m3 + n3 // Bull. Inst. Math. Appl.. — 1991. — Вып. 27 . — С. 155—157 .
David W. Wilson. The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496 // Journal of Integer Sequences. — 1999. — Т. 2 . Wilson was unaware of J. A. Dardis' prior discovery of Ta(5) in 1994 when he wrote this.
D. J. Bernstein. Enumerating solutions to p(a) + q(b) = r(c) + s(d) // Mathematics of Computation. — 2000. — Т. 70 , вып. 233 . — С. 389—394 .
C. S. Calude, E. Calude, M. J. Dinneen:. What is the value of Taxicab(6)? // Journal of Universal Computer Science. — 2003. — Т. 9 . — С. 1196—1203 .