Число такси

n-ое число такси, обычно обозначаемое Ta(n) или Taxicab(n), определяется как наименьшее число, которое может быть представлено как сумма двух положительных кубов n различными способами. Наиболее известное число такси — 1729 = Ta(2) = 1³ + 12³ = 9³ + 10³.

Название чи́сла получили из разговора в 1919 математиков Г. Х. Харди и Сриниваса Рамануджана. Харди рассказывал:

Я помню, пришёл раз навестить его (Рамануджана), лежащего в больнице в Питни. Я приехал на такси с номером 1729 и заметил в разговоре, что число скучное, и что я надеюсь, что это не является неблагоприятным знаком. «Нет, — ответил тот, — число очень интересно, это наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы кубов двумя различными способами!»

Определение

Концепция впервые была упомянута в 1657 Бернардом Френиклю и стала знаменитой в начале 20-го века благодаря Сринивасу Рамануджану. В 1938 Харди и Райт доказали, что такие числа существуют для всех положительных целых чисел n, и их доказательство легко превратить в программу для генерации таких чисел. Однако это доказательство не заботится о том, чтобы это число было минимальным , так что его нельзя использовать для поиска фактических значений Ta(n).

Ограничение на знак членов суммы необходимо, поскольку допущение отрицательных значений позволяет представить большее количество (и меньших) чисел выразить в виде суммы кубов n различными способами. Концепция числа извозчика была предложена как менее ограничивающая альтернатива. В известном смысле количество слагаемых (два) и степень (куб) также является существенным ограничением. Обобщённое число такси позволяет иметь более двух слагаемых и использовать другие степени.

Известные числа такси

Известны следующие шесть чисел такси последовательность A011541 в OEIS:

${\begin{aligned}\operatorname {Ta} (1)=2&=1^{3}+1^{3}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {Ta} (2)=1729&=1^{3}+12^{3}\\&=9^{3}+10^{3}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {Ta} (3)=87539319&=167^{3}+436^{3}\\&=228^{3}+423^{3}\\&=255^{3}+414^{3}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {Ta} (4)=6963472309248&=2421^{3}+19083^{3}\\&=5436^{3}+18948^{3}\\&=10200^{3}+18072^{3}\\&=13322^{3}+16630^{3}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {Ta} (5)=48988659276962496&=38787^{3}+365757^{3}\\&=107839^{3}+362753^{3}\\&=205292^{3}+342952^{3}\\&=221424^{3}+336588^{3}\\&=231518^{3}+331954^{3}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\operatorname {Ta} (6)=24153319581254312065344&=582162^{3}+28906206^{3}\\&=3064173^{3}+28894803^{3}\\&=8519281^{3}+28657487^{3}\\&=16218068^{3}+27093208^{3}\\&=17492496^{3}+26590452^{3}\\&=18289922^{3}+26224366^{3}\end{aligned}}$

История открытия

Число Ta(2), известное также как число Харди –Рамануджана, первым опубликовал Бернард Френиклю в 1657.

Джон Лич получил Ta(3) в 1957. Е. Розенталь, Дж. А. Дардис и К. Р. Розенталь нашли Ta(4) в 1989 . Дж. А. Дардис нашёл Ta(5) в 1994 и подтвердил Дэвид В. Уилсон в 1999 . О числе Ta(6) объявид Уве Холлербах на сайте NMBRTHRY (Number Theory Wiki) 9 марта 2008 . Верхние границы для чисел Ta(7) — Ta(12) нашёл Христиан Бойер в 2006.

Числа такси без кубов

Задача чисел такси с более строгими ограничениями, в которой требуется, чтобы числа не содержали кубы, то есть что числа не делились на кубы чисел, отличных от 1³. Тогда число такси T записывается как T = x³ + y³, где числа x и y должны быть взаимно просты. Среди чисел такси Ta(n), перечисленных выше, только Ta(1) и Ta(2) не содержат кубов. Наименьшее число такси без кубов с тремя вариантами представления обнаружил Поль Войта (не опубликовано) в 1981, когда он был аспирантом. Эти числа

15170835645

= 517³ + 2468³

= 709³ + 2456³

= 1733³ + 2152³.

Наименьшее число такси без кубов с четырьмя вариантами представления обнаружил Стюарт Гаскойн и, независимо, Дункан Мур в 2003. Это числа

1801049058342701083

= 92227³ + 1216500³

= 136635³ + 1216102³

= 341995³ + 1207602³

= 600259³ + 1165884³

последовательность A080642 в OEIS.

См. также

• Диофантово уравнение
• Гипотеза Эйлера
• Обобщённое число такси
• Гипотеза Била
• Уравнение Якоби — Маддена
• Задача Пруэ — Тарри — Эскотта
• Пифагорова четвёрка
• Суммы степеней, список связанных со степенями гипотез и теорем

Литература

• Joseph H. Silverman Taxicabs and sums of two cubes // Amer. Math. Monthly. — 1993. — Т. 100. — С. 331–340. — DOI:10.2307/2324954.
• G. H. Hardy, E. M. Wright. Thm. 412 // An Introduction to the Theory of Numbers. — 3rd ed.. — London & NY: Oxford University Press, 1954.
• J. Leech Some Solutions of Diophantine Equations // Proc. Cambridge Phil. Soc.. — 1957. — Вып. 53. — С. 778–780.
• E. Rosenstiel, J. A. Dardis, C. R. Rosenstiel online The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equations = x³ + y³ = z³ + w³ = u³ + v³ = m³ + n³ // Bull. Inst. Math. Appl.. — 1991. — Вып. 27. — С. 155–157.
• David W. Wilson The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496 // Journal of Integer Sequences. — 1999. — Т. 2. Wilson was unaware of J. A. Dardis' prior discovery of Ta(5) in 1994 when he wrote this.
• D. J. Bernstein Enumerating solutions to p(a) + q(b) = r(c) + s(d) // Mathematics of Computation. — 2000. — Т. 70, вып. 233. — С. 389–394.
• C. S. Calude, E. Calude, M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)? // Journal of Universal Computer Science. — 2003. — Т. 9. — С. 1196–1203.

Ссылки

• A 2002 post to the Number Theory mailing list by Randall L. Rathbun
• 1729: Taxi Cab Number or Hardy-Ramanujan Number.
• Taxicab and other maths at Euler
• Singh, Simon Taxicab Numbers in Futurama.