Число такси

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

n-ое число такси, обычно обозначаемое Ta(n) или Taxicab(n), определяется как наименьшее число, которое может быть представлено как сумма двух положительных кубов n различными способами. Наиболее известное число такси — 1729 = Ta(2) = 13 + 123 = 93 + 103.

Название чи́сла получили из разговора в 1919 математиков Г. Х. Харди и Сриниваса Рамануджана. Харди рассказывал:

« Я помню, пришёл раз навестить его (Рамануджана), лежащего в больнице в Питни. Я приехал на такси с номером 1729 и заметил в разговоре, что число скучное, и что я надеюсь, что это не является неблагоприятным знаком. «Нет, — ответил тот, — число очень интересно, это наименьшее натуральное число, представимое в виде суммы кубов двумя различными способами!»[1][2] »

Определение[править | править вики-текст]

Концепция впервые была упомянута в 1657 Бернардом Френиклю и стала знаменитой в начале 20-го века благодаря Сринивасу Рамануджану. В 1938 Харди и Райт доказали, что такие числа существуют для всех положительных целых чисел n, и их доказательство легко превратить в программу для генерации таких чисел. Однако это доказательство не заботится о том, чтобы это число было минимальным , так что его нельзя использовать для поиска фактических значений Ta(n).

Ограничение на знак членов суммы необходимо, поскольку допущение отрицательных значений позволяет представить большее количество (и меньших) чисел выразить в виде суммы кубов n различными способами. Концепция числа извозчика[en] была предложена как менее ограничивающая альтернатива. В известном смысле количество слагаемых (два) и степень (куб) также является существенным ограничением. Обобщённое число такси[en] позволяет иметь более двух слагаемых и использовать другие степени.

Известные числа такси[править | править вики-текст]

Известны следующие шесть чисел такси последовательность A011541 в OEIS:

История открытия[править | править вики-текст]

Число Ta(2), известное также как число Харди –Рамануджана, первым опубликовал Бернард Френиклю в 1657.

Джон Лич получил Ta(3) в 1957. Е. Розенталь, Дж. А. Дардис и К. Р. Розенталь нашли Ta(4) в 1989 [3]. Дж. А. Дардис нашёл Ta(5) в 1994 и подтвердил Дэвид В. Уилсон в 1999 [4][5]. О числе Ta(6) объявид Уве Холлербах на сайте NMBRTHRY (Number Theory Wiki) 9 марта 2008 [6][7]. Верхние границы для чисел Ta(7) — Ta(12) нашёл Христиан Бойер в 2006[8].

Числа такси без кубов[править | править вики-текст]

Задача чисел такси с более строгими ограничениями, в которой требуется, чтобы числа не содержали кубы, то есть что числа не делились на кубы чисел, отличных от 13. Тогда число такси T записывается как T = x3 + y3, где числа x и y должны быть взаимно просты. Среди чисел такси Ta(n), перечисленных выше, только Ta(1) и Ta(2) не содержат кубов. Наименьшее число такси без кубов с тремя вариантами представления обнаружил Поль Войта[en] (не опубликовано) в 1981, когда он был аспирантом. Эти числа

15170835645
= 5173 + 24683
= 7093 + 24563
= 17333 + 21523.

Наименьшее число такси без кубов с четырьмя вариантами представления обнаружил Стюарт Гаскойн и, независимо, Дункан Мур в 2003. Это числа

1801049058342701083
= 922273 + 12165003
= 1366353 + 12161023
= 3419953 + 12076023
= 6002593 + 11658843

последовательность A080642 в OEIS.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Quotations by G. H. Hardy, MacTutor History of Mathematics
  2. Silverman, 1993, с. 331–340.
  3. Numbers Count column, Personal Computer World, page 234, November 1989
  4. Numbers Count column of Personal Computer World, page 610, Feb 1995
  5. "The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496" by David W. Wilson
  6. NMBRTHRY Archives – March 2008 (#10) "The sixth taxicab number is 24153319581254312065344" by Uwe Hollerbach
  7. C. S. Calude, E. Calude and M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)?, Journal of Universal Computer Science, Vol. 9 (2003), pp. 1196–1203
  8. "'New Upper Bounds for Taxicab and Cabtaxi Numbers" Christian Boyer, France, 2006–2008

Литература[править | править вики-текст]

  • Joseph H. Silverman Taxicabs and sums of two cubes // Amer. Math. Monthly. — 1993. — Т. 100. — С. 331–340. — DOI:10.2307/2324954.
  • G. H. Hardy, E. M. Wright. Thm. 412 // An Introduction to the Theory of Numbers. — 3rd ed.. — London & NY: Oxford University Press, 1954.
  • J. Leech Some Solutions of Diophantine Equations // Proc. Cambridge Phil. Soc.. — 1957. — Вып. 53. — С. 778–780.
  • E. Rosenstiel, J. A. Dardis, C. R. Rosenstiel online The four least solutions in distinct positive integers of the Diophantine equations = x3 + y3 = z3 + w3 = u3 + v3 = m3 + n3 // Bull. Inst. Math. Appl.. — 1991. — Вып. 27. — С. 155–157.
  • David W. Wilson The Fifth Taxicab Number is 48988659276962496 // Journal of Integer Sequences. — 1999. — Т. 2. Wilson was unaware of J. A. Dardis' prior discovery of Ta(5) in 1994 when he wrote this.
  • D. J. Bernstein Enumerating solutions to p(a) + q(b) = r(c) + s(d) // Mathematics of Computation. — 2000. — Т. 70, вып. 233. — С. 389–394.
  • C. S. Calude, E. Calude, M. J. Dinneen: What is the value of Taxicab(6)? // Journal of Universal Computer Science. — 2003. — Т. 9. — С. 1196–1203.

Ссылки[править | править вики-текст]