Абсолютно чёрное тело

Абсолю́тно чёрное те́ло (сокращённо АЧТ) — физическое тело, которое при любой температуре поглощает всё падающее на него электромагнитное излучение во всех диапазонах.

Таким образом, у абсолютно чёрного тела поглощательная способность (отношение поглощённой энергии к энергии падающего излучения) равна 1 для излучения всех частот, направлений распространения и поляризаций.

Несмотря на название, абсолютно чёрное тело при абсолютной температуре не равной 0 само испускает электромагнитное излучение на всех частотах и при достаточной температуре светится. Более того, как следует из закона Кирхгофа для теплового излучения, АЧТ обладает максимально возможной излучательной способностью. Спектр излучения абсолютно чёрного тела непрерывен и спектральная плотность излучения зависит только от температуры. Длина волны спектрального максимума для АЧТ определяется законом смещения Вина.

Важность модели абсолютно чёрного тела в теории теплового излучения обусловлена тем, что вопрос о спектре равновесного теплового излучения тел любого цвета и коэффициента отражения сводится методами классической термодинамики к вопросу об излучении абсолютно чёрного тела. К концу XIX века невозможность объяснить наблюдаемый спектр АЧТ методами классической теоретической физики была одной из проблем физики.

Спектральная плотность мощности излучения чёрного тела (мощность, излучаемая с поверхности единичной площади в единичном интервале частот в герцах) задаётся формулой Планка:

$R_{\nu }(\nu ,\,T)={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /kT}-1}}$,

где $T$ — абсолютная температура;

$h$ — постоянная Планка;

$c$ — скорость света;

$k$ — постоянная Больцмана;

$\nu$ — частота электромагнитного излучения.

Среди тел Солнечной системы свойствами абсолютно чёрного тела в наибольшей степени обладает Солнце. Максимум энергии излучения Солнца приходится примерно на длину волны 450 нм, что соответствует температуре фотосферы Солнца около 6000 K (если рассматривать Солнце как абсолютно чёрное тело).

Термин «абсолютно чёрное тело» был введён Густавом Кирхгофом в 1862 году.

Практическая модель абсолютно чёрного тела

Модель абсолютно чёрного тела

Для физических экспериментов и обсуждений, касающихся проблематики абсолютно чёрного тела, используют модельный объект. Он представляет полость в непрозрачном материале с изотермическими стенками, у которой есть небольшое отверстие. Внешний свет, попадающий в полость сквозь это отверстие после многократных отражений от стенок полости будет полностью поглощён, и отверстие снаружи будет выглядеть совершенно чёрным, если температура стенок полости не очень высока. Но при нагревании стенок этой полости у неё появится собственное видимое излучение.

Поскольку излучение, испущенное внутренними стенками полости, прежде чем выйдет наружу (ведь отверстие очень мало), в подавляющей доле случаев претерпит огромное количество новых поглощений стенками полости и излучений, то можно полагать, что излучение внутри полости находится в термодинамическом равновесии со стенками (фактически наличие отверстия в этой модели вообще несущественно, оно нужно только чтобы подчеркнуть принципиальную наблюдаемость излучения, находящегося внутри. Отверстие можно, например, держать закрытым, и быстро приоткрыть только для выполнения измерения после установления равновесного излучения в полости).

Электромагнитное излучение, находящееся в термодинамическом равновесии с абсолютно чёрным телом при данной температуре (например, излучение внутри полости), называется чернотельным (или тепловым равновесным излучением).

Равновесное тепловое излучение однородно, изотропно и неполяризовано, перенос энергии в нём отсутствует, все его характеристики зависят только от температуры абсолютно чёрного тела-излучателя (и, поскольку чернотельное излучение находится в тепловом равновесии с телом, эта температура может быть названа темпе5ратурой излучения).

Примеры чёрных тел и чернотельного излучения

Близким к единице коэффициентом поглощения обладают поверхности покрытые сажей и платиновая чернью. Сажа поглощает около 99 % падающего излучения видимого диапазона излучения (то есть имеет альбедо в этом диапазоне примерно равное 0,01), однако инфракрасное излучение поглощается ею значительно хуже.

Наиболее чёрная поверхность из всех известных — изобретённая в 2014 году поверхность Vantablack, состоящая из параллельно ориентированных углеродных нанотрубок, — поглощает 99,965 % падающего на него излучения в диапазонах видимого света, микроволн и радиоволн.

Очень близко по своим свойствам к чернотельному так называемое реликтовое излучение, или космический микроволновой фон — заполняющее Вселенную излучение с температурой около 3 K.

Чернотельным является излучение Хокинга (квантовомеханическое испарение чёрных дыр). Это излучение имеет температуру:

$T_{\text{BH}}={\frac {hc^{3}}{16\pi ^{2}kGM}}$,

где $G$ — гравитационная постоянная;

$M$ — масса чёрной дыры.

Законы излучения абсолютно чёрного тела

Под законами излучения подразумеваются зависимости испускательной способности поверхности тела от частоты ($R_{\nu }(\nu )$, Вт/м²/Гц) или длины волны ($R_{\lambda }(\lambda )$, Вт/м²/м) излучения, а также утверждения, касающиеся особенностей таких зависимостей. Вместо формулы для испускательной способности может рассматриваться связанная с ней формула объёмной спектральной плотности $u$ (Дж/м³/Гц для $u_{\nu }(\nu )$ или Дж/м³/м для $u_{\lambda }(\lambda )$:

$u=4R/c$.

Изначально при поиске формального выражения для закона излучения чёрного тела были применены классические методы статистической физики, давшие ряд важных и верных результатов, но полностью объяснить результаты эксперимента не позволили. В итоге теоретический анализ излучения абсолютно чёрного тела явился одной из предпосылок появления квантовой механики.

Классические законы

Закон Рэлея — Джинса

Основная статья: Закон Рэлея — Джинса

Попытка описать излучение абсолютно чёрного тела на основе классических принципов термодинамики приводит к закону Рэлея — Джинса (k — постоянная Больцмана, $T$ — температура):

$u_{\nu }={\frac {8\pi \nu ^{2}kT}{c^{3}}}$,

$u_{\lambda }={\frac {8\pi kT}{\lambda ^{4}}}$.

Вычисления по этим формулам совпадают с экспериментальными данными в длинноволновой области спектра.

Однако, из этой формулы вытекает неограниченное возрастание как квадратичная функция спектральной плотности с частотой. Такая зависимость означала бы невозможность термодинамического равновесия между веществом и излучением, поскольку согласно ему вся тепловая энергия любого тела должна была бы перейти в энергию коротковолнового излучения. Такое гипотетическое поведение было названо ультрафиолетовой катастрофой.

Первый закон излучения Вина

В 1893 году Вильгельм Вин, воспользовавшись, помимо классической термодинамики, электромагнитной теорией света, вывел следующую формулу:

$u_{\nu }=\nu ^{3}f\left({\frac {\nu }{T}}\right)$,

$u_{\lambda }=\lambda ^{-5}f\left({\frac {c}{\lambda T}}\right)$,

где f — функция, зависящая исключительно от отношения частоты к температуре.

Вывести её вид только из термодинамических соображений невозможно.

Первая формула Вина справедлива для всех частот.

Из неё выводится закон смещения Вина (закон максимума) в виде:

$\lambda _{max}\sim {\frac {\rm {const}}{T}}$,

где $\lambda _{max}$ отвечает максимуму функции $u_{\lambda }(\lambda )$.

Также из этой формулы можно получить закон Стефана — Больцмана:

$J={\frac {c}{4}}\int u_{\nu }\,d\nu \sim {\rm {const}}\cdot T^{4}$,

где $J$ — мощность излучения единицы поверхности тела.

Константы могут быть оценены из эксперимента. Для теоретического же их определения требуются методы квантовой механики.

Связь закона Вина с постоянной Планка

В 1896 году Вин на основе дополнительных предположений вывел функцию:

$u_{\nu }=C_{1}\nu ^{3}e^{-C_{2}{\frac {\nu }{T}}}$,

$u_{\lambda }=C_{1}\,c^{4}\lambda ^{-5}e^{-C_{2}{\frac {c}{\lambda T}}}$,

где C₁, C₂ — некоторые константы.

Опыт показывает, что частная формула Вина справедлива лишь в пределе высоких частот (малых длин волн). Она является частным конкретным случаем первого закона Вина.

Как и в случае закона максимума, константы не могут быть определены только из классических моделей.

Квантовомеханические законы

Закон Планка

Основная статья: Формула Планка

По современным представлениям, интенсивность излучения абсолютно чёрного тела в зависимости от частоты и температуры определяется законом Планка:

$u_{\nu }={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}{\frac {1}{e^{h\nu /kT}-1}},\ \ R_{\nu }={\frac {2\pi h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /kT}-1}}$.

Здесь приведено выражение как для объёмной спектральной плотности энергии $u_{\nu }$, так и для поверхностной спектральной плотности мощности излучения $R_{\nu }$. Это эквивалентно выражениям:

$u_{\lambda }={8\pi h{c} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1},\ \ R_{\lambda }={2\pi h{c^{2}} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}$,

в которых те же величины представлены как зависимости от длины волны.

Исходя из формулы Планка можно получить формулу Рэлея — Джинса при $h\nu /kT\ll 1$.

Также было показано, что второй закон Вина следует из закона Планка для больших энергий квантов — и были найдены входящие в закон Вина постоянные C₁ и C₂. В результате формула второго закона Вина обретает вид:

$u_{\nu }={\frac {8\pi h\nu ^{3}}{c^{3}}}e^{-{\frac {h\nu }{kT}}}\quad (h\nu /kT\gg 1)$.

Во всех вышеприведённых выражениях через h обозначена постоянная Планка.

Закон смещения Вина

Основная статья: Закон смещения Вина

Зависимость мощности излучения чёрного тела от длины волны

Длина волны, при которой спектральная плотность мощности излучения абсолютно чёрного тела максимальна, определяется законом смещения Вина:

$\lambda _{\text{max}}={\frac {0{,}002898}{T}},$

где $T$ — температура в кельвинах;

$\lambda _{\text{max}}$ — длина волны, отвечающей максимуму $u_{\lambda }$, в метрах.

Числовой множитель получается из формулы Планка.

Если считать, что кожа человека близка по свойствам к абсолютно чёрному телу, то максимум спектра излучения при температуре 36 °C (309 K) лежит на длине волны 9400 нм (в инфракрасной области).

Закон Стефана — Больцмана

Основная статья: Закон Стефана — Больцмана

Закон Стефана — Больцмана гласит, что полная мощность излучения (Вт/м²) абсолютно чёрного тела, то есть интеграл спектральной плотности мощности по всем частотам, приходящаяся на единицу площади поверхности, прямо пропорциональна четвёртой степени температуры тела:

$J=\int R_{\nu }(\nu ,T)\,d\nu =\sigma T^{4}$,

где $\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}\approx 5{,}670400(40)\cdot 10^{-8}$ Вт/(м²·К⁴) — постоянная Стефана — Больцмана.

Таким образом, абсолютно чёрное тело при $T$=100 K излучает 5,67 ватта с квадратного метра поверхности. При 1000 K мощность излучения увеличивается до 56,7 киловатта с квадратного метра.

Для нечёрных тел приближённо справедливо $J=\epsilon \sigma T^{4}$, где $\epsilon$ — степень черноты.

Для абсолютно чёрного тела $\epsilon =1$, для других объектов в силу закона Кирхгофа степень черноты равна коэффициенту поглощения:

$\epsilon =\alpha =1-\rho -\tau$,

где $\alpha$ — коэффициент поглощения;

$\rho$ — коэффициент отражения,

$\tau$ — коэффициент пропускания.

Поэтому для уменьшения лучистого теплопереноса поверхность окрашивают в белый цвет или наносят блестящее покрытие, а для увеличения — затемняют.

Цветность чернотельного излучения

Излучение нагретого металла в видимом диапазоне

Цветность чернотельного излучения, или, вернее, цветовой тон излучения абсолютно чёрного тела при его определённой температуре, приведена в таблице:

Температурный интервал в кельвинах	Цвет
до 1000	Красный
1000—2000	Оранжевый
2000—3000	Жёлтый
3000—4500	Бледно-жёлтый
4500—5500	Желтовато-белый
5500—6500	Чисто белый
6500—8000	Голубовато-белый
8000—15000	Бело-голубой
15000 и более	Голубой

Цвета даны в сравнении с рассеянным дневным светом (D₆₅). Реально воспринимаемый цвет может быть искажён адаптацией глаза к условиям освещения. Видимый цвет чёрных тел с разной температурой также представлен на диаграмме в начале статьи.

Термодинамика чернотельного излучения

Основная статья: Термодинамика фотонного газа

В термодинамике равновесное тепловое излучение рассматривают как фотонный газ, состоящий из электронейтральных безмассовых частиц, заполняющий полость объёмом V в абсолютно чёрном теле (см. раздел «Практическая модель»), с давлением P и температурой T, совпадающей с температурой стенок полости. Для фотонного газа справедливы следующие термодинамические соотношения:

$P={\frac {a}{3}}T^{4},$ (Термическое уравнение состояния)

$U=aVT^{4},$ (Калорическое уравнение состояния для внутренней энергии)

$U=aV\left({\frac {3S}{4aV}}\right)^{4/3},$ (Каноническое уравнение состояния для внутренней энергии)

$H=\left({\frac {3P}{a}}\right)^{1/4}S,$ (Каноническое уравнение состояния для энтальпии)

$F=-{\frac {1}{3}}aVT^{4},$ (Каноническое уравнение состояния для потенциала Гельмгольца)

$G=0,$ (Каноническое уравнение состояния для потенциала Гиббса)

$\Omega =-{\frac {1}{3}}\alpha VT^{4},$ (Каноническое уравнение состояния для потенциала Ландау)

$\mu =0,$ (Химический потенциал)

$S={\frac {4a}{3}}VT^{3},$ (Энтропия)

$C_{V}=4aVT^{3},$ (Теплоёмкость при постоянном объёме)

$C_{P}=\infty ,$ (Теплоёмкость при постоянном давлении)

$\gamma =\infty ,$ (Показатель адиабаты)

$S={\text{const}},\quad VT^{3}={\text{const}},\quad PV^{4/3}={\text{const}}.$ (Уравнения адиабаты)

Для большей компактности в формулах использована радиационная постоянная a вместо постоянной Стефана — Больцмана σ:

$a={\frac {4\sigma }{c}}=7{,}5657\times 10^{-15}$ эрг·см⁻³·К⁻⁴ $=7{,}5657\times 10^{-16}$ Дж·м⁻³·К⁻⁴. (Радиационная постоянная)

где c — скорость света в вакууме.

Фотонный газ представляет собой систему с одной термодинамической степенью свободы.

Давление равновесного фотонного газа не зависит от объёма, поэтому для фотонного газа изотермический процесс (T = const) является одновременно и изобарным процессом (P = const). С повышением температуры давление фотонного газа растёт очень быстро, достигая 1 атмосферы уже при T = 1,4⋅10⁵ K, а при температуре 10⁷ K (температура центра Солнца) давление достигает значения 2,5⋅10⁷ атм (2,5⋅10¹² Па). Величина теплоёмкости излучения становится сравнимой с величиной теплоёмкости одноатомного идеального газа лишь при температурах порядка миллионов кельвинов.

Представление о температуре излучения было введено Б. Б. Голицыным (1893).

См. также

• Точка Дрейпера
• Фундаментальные физические постоянные
• Тепловое излучение
• Закон смещения Вина
• Vantablack
• Серое тело

Литература

• Алмалиев А. Н., Копытин И. В., Корнев А. С., Чуракова Т. А. Термодинамика и статистическая физика: Статистика идеального газа. — Воронеж: Ворон. гос. ун-т, 2004. — 79 с.
• Базаров И. П. Термодинамика. — 5-е изд. — СПб. — М. — Краснодар: Лань, 2010. — 384 с. — (Учебники для вузов. Специальная литература). — ISBN 978-5-8114-1003-3.
• Гуггенгейм. Современная термодинамика, изложенная по методу У. Гиббса / Пер. под ред. проф. С. А. Щукарева. — Л. — М.: Госхимиздат, 1941. — 188 с.
• Новиков И. И. Термодинамика. — М.: Машиностроение, 1984. — 592 с.
• Сычёв В. В. Сложные термодинамические системы. — 5-е изд., перераб. и доп.. — М.: Издательский дом МЭИ, 2009. — 296 с. — ISBN 978-5-383-00418-0.
• Мартинсон Л. К., Смирнов Е. В. Квантовая теория // Физика в техническом университете, 5-й том. — МГТУ им. Н. Э. Баумана.

Ссылки

• Спектр чёрного тела (flash-приложение)
• Keesey, Lori J. Blacker than black . NASA (12 декабря 2010).