Шестиугольный паркет

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Шестиугольная мозаика
Шестиугольная мозаика
Тип Правильная мозаика
Вершинная фигура 6.6.6 (63)
Символ Шлефли {6,3}
t{3,6}
Символ Визоффа[en] 3 | 6 2
2 6 | 3
3 3 3 |
Диаграмма Коксетера CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png
CDel node.pngCDel 6.pngCDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.png
CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch 11.png
Группа симметрии p6m[en], [6,3], (*632)
Вращательная симметрия p6[en], [6,3]+, (632)
Двойственная
мозаика
Треугольная мозаика
Свойства Вершинно транзитивна,
рёберно транзитивна[en],
транзитивна по граням[en]

Шестиуго́льный парке́т (шестиугольный паркета́ж[1]) или шестиугольная мозаиказамощение плоскости равными правильными шестиугольниками, расположенными сторона к стороне.

Шестиугольная мозаика является двойственной треугольной мозаике — если соединить центры смежных шестиугольников, то проведённые отрезки дадут треугольную мозаику[1][2]. Символ Шлефли шестиугольного паркета — {6,3} (что означает, что в каждой вершине паркета сходятся три шестиугольника), или t{3,6}, если мозаика рассматривается как усечённая треугольная.

Английский математик Конвей называл мозаику hextille (шестипаркет).

Шахматная раскраска шестиугольного паркета

Внутренний угол шестиугольника равен 120 градусов, так что три шестиугольника в одной вершине дают вместе 360 градусов. Это одна из трёх правильных мозаик плоскости. Другие две мозаики — треугольный паркет и квадратный паркет.

Приложения[править | править код]

Замощение плоскости правильными шестиугольниками является основой для гекса, гексагональных шахмат и других игр на клетчатом поле, полигексов, вариантов модели «Жизнь» и других двумерных клеточных автоматов, кольцевых флексагонов и т.п.

Шестиугольная мозаика является наиболее плотным способом упаковки окружностей в двухмерном пространстве. Гипотеза о сотах[en] утверждает, что шестиугольная мозаика является лучшим способом разбить поверхность на области равной площади с наименьшим суммарным периметром. Оптимальную трёхмерную структуру для сот (скорее, мыльных пузырей) исследовал лорд Кельвин, который верил, что структура Кельвина[en] (или объёмно-центрированная кубическая решётка) оптимальна. Однако менее правильная структура Уаеаире – Фелана[en] слегка лучше.

Эта структура существует в природе в виде графита, где каждый слой графена имеет сходство с проволочной сеткой, где роль проволоки играют сильные ковалентные связи. Были синтезированы трубчатые листы графена, они известны как углеродные нанотрубки. Они имеют много потенциальных приложений ввиду их высокой прочности на разрыв и электрических свойств. На графен похож силицен.

Шестиугольная мозаика появляется во многих кристаллах. В трёхмерном пространстве гранецентрированная кубическая структура и гексагональная плотноупакованная структура часто встречаются в кристаллах. Они являются наиболее плотными сферами в трёхмерном пространстве. Структурно они состоят из параллельных слоёв шестиугольной мозаики подобно структуре графита. Отличаются они тем, как уровни смещены относительно друг друга, при этом гранецентрированная кубическая структура является более правильной. Чистая медь, среди прочих материалов, образует гранецентрированную кубическую решётку.

Однородные раскраски[править | править код]

Существуют три различные однородные раскраски[en] шестиугольной мозаики, все получаются из зеркальной симметрии построений Визоффа. Запись (h,k) представляет периодическое повторение цветной плитки с шестиугольными расстояниями h и k.

k-однородные 1- однородные 2- однородные 3- однородные
Симметрия p6m, (*632) p3m1, (*333) p6m, (*632) p6, (632)
Рисунок Uniform tiling 63-t0.png Uniform tiling 63-t12.png Uniform tiling 333-t012.png Truncated rhombille tiling.png Hexagonal tiling 4-colors.svg Hexagonal tiling 2-1.png Hexagonal tiling 7-colors.png
Цвета 1 2 3 2 4 2 7
(h,k) (1,0) (1,1) (2,0) (2,1)
Шлефли {6,3} t{3,6} t{3[3]}
Визофф[en] 3 | 6 2 2 6 | 3 3 3 3 |
Коксетер CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 3.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.png CDel node 1.pngCDel split1.pngCDel branch 11.png
Конвей[en] H cH

3-цветная мозаика образуется перестановочным многогранником порядка 3.

Шестиугольная мозаика с фаской[править | править код]

Снятие фаски[en] шестиугольной мозаики заменяет рёбра новыми шестиугольниками и преобразует в другую шестиугольную мозаику. В пределе исходные грани исчезают, а новые шестиугольники преобразуются в ромбы, превращая мозаику в ромбическую.

Hexagons (H) Chamfered hexagons (cH) Rhombi (daH)
Uniform tiling 63-t0.png Chamfered hexagonal tiling.png Truncated rhombille tiling.png Chamfered hexagonal tiling2.png Rhombic star tiling.png

Связанные мозаики[править | править код]

Шестиугольники можно разбить на 6 треугольников. Это приводит к двум 2-однородным мозаикам, и треугольной мозаике:

Правильная мозаика Разбиение 2-однородные мозаики Правильная мозаика
1-uniform 1.png
Исходная
Regular hexagon.svg
Triangular tiling vertfig.png
2-uniform 10.png
разбито 1/3
шестиугольников
2-uniform 19.png
разбито 2/3
шестиугольников
1-uniform 11.png
полное разбиение

Шестиугольную мозаику можно считать удлинённой ромбической мозаикой, в которой каждая вершина ромбической мозаики «растянута» с образованием нового ребра. Это похоже на связь замощений Ромбододекаэдром и ромбошестиугольным додекаэдром[en] в трёхмерном пространстве.

Kah 3 6 romb.png
Ромбическая мозаика
Uniform tiling 63-t0.png
Шестиугольная мозаика
Chicken Wire close-up.jpg
Сетка, показывающая такую связь

Можно также разбить протоплитки некоторых шестиугольных мозаик на два, три, четыре, или девять одинаковых пятиугольников:

Pent-Hex-Type1-2.png
Пятиугольная мозаика 1-го типа с перекрытием правильными шестиугольниками (каждый шестиугольник состоит из 2 пятиугольников).
Pent-Hex-Type3-3.png
Пятиугольная мозаика 3-го типа с перекрытием правильными шестиугольниками (каждый шестиугольник состоит из 3 пятиугольников).
Pent-Hex-Type4-4.png
Пятиугольная мозаика 4-го типа с перекрытием полуправильными шестиугольниками (каждый шестиугольник состоит из 4 пятиугольников).
Pent-Hex-Type3-9.png
Пятиугольная мозаика 3-го типа с перекрытием правильными шестиугольниками двух размеров (шестиугольники состоит из 3 и 9 пятиугольников).

Варианты симметрии[править | править код]

Эта мозаика топологически связана с последовательностью правильных мозаик с шестиугольными гранями, которая начинается с шестиугольной мозаики. Мозаики бесконечной последовательности имеют символ Шлефли {6,n} и диаграмму Коксетера CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel n.pngCDel node.png.

Шестиугольная мозаика топологически связана (как часть последовательности) с правильными многогранниками с вершинной фигурой n3.

*n32 варианты симметрии правильных мозаик: n3 или {n',3}
Сферические Евклидовы Компактные
гиперболические.
Параком-
пактные.
Некомпактные гиперболические.
Spherical trigonal hosohedron.png Uniform tiling 332-t0-1-.png Uniform tiling 432-t0.png Uniform tiling 532-t0.png Uniform polyhedron-63-t0.png H2 tiling 237-1.png H2 tiling 238-1.png H2 tiling 23i-1.png H2 tiling 23j12-1.png H2 tiling 23j9-1.png H2 tiling 23j6-1.png H2 tiling 23j3-1.png
{2,3} {3,3} {4,3} {5,3} {6,3} {7,3} {8,3} {∞,3} {12i,3} {9i,3} {6i,3} {3i,3}

Подобным образом мозаика связана с однородными усечёнными многогранниками с вершинной фигурой n.6.6.

Мозаика является также частью усечённых ромбических многогранников и мозаик с симметрией группы Коксетера [n,3]. Куб можно рассматривать как ромбический шестигранник, в котором все ромбы есть квадраты. Усечённые формы имеют правильные n-угольники на месте усечённых вершин и неправильные шестиугольные грани.

Симметрии двойственных двойственных квазиправильных мозаик: V(3.n)2
Сферические Евклидовы Гиперболические
*n32 *332 *432 *532 *632 *732 *832... *∞32
Мозаика Uniform tiling 432-t0.png Spherical rhombic dodecahedron.png Spherical rhombic triacontahedron.png Rhombic star tiling.png Order73 qreg rhombic til.png Uniform dual tiling 433-t01-yellow.png Ord3infin qreg rhombic til.png
Конф. V(3.3)2 V(3.4)2 V(3.5)2 V(3.6)2 V(3.7)2 V(3.8)2 V(3.∞)2

Построение Визоффа из шестиугольных и треугольных мозаик[править | править код]

Подобно однородным многогранникам[en] существует восемь однородных мозаик, базирующихся на правильных шестиугольных мозаиках (или на двойственных треугольных мозаиках).

Если нарисовать плитки исходных граней красным, исходные вершины (получившиеся на их месте многоугольники) жёлтым, а исходные рёбра (получившиеся на их месте многоугольники) — синим, существует 8 форм, 7 из которых топологически различны. (Усечённая треугольная мозаика топологически идентична шестиугольной мозаике.)

Моноэдральные выпуклые шестиугольные мозаики[править | править код]

Существует 3 типа моноэдральных[3] выпуклых шестиугольных мозаик[4]. Все они изоэдральны (англ.). Каждая имеет параметрические варианты с фиксированной симметрией. Тип 2 содержит скользящие симметрии и сохраняет хиральные пары различными.

3 типа моноэдральных выпуклых шестиугольных мозаик
1 2 3
p2, 2222 pgg, 22× p2, 2222 p3, 333
P6-type1.png P6-type2.png P6-type2-chiral coloring.png P6-type3.png
Prototile p6-type1.png
b=e
B+C+D=360°
Prototile p6-type2.png
b=e, d=f
B+C+E=360°
Prototile p6-type3.png
a=f, b=c, d=e
B=D=F=120°
Lattice p6-type1.png
сетка из двух плиток
Lattice p6-type2.png
сетка из четырёх плиток
Lattice p6-type3.png
сетка из трёх плиток

Топологически эквиваленные мозаики[править | править код]

Шестиугольные мозаики могут быть идентичны {6,3} топологии правильной мозаики (3 шестиугольника в каждой вершине). Существует 13 вариантов шестиугольной мозаики с изоэдральными[en] гранями. С точки зрения симметрии все грани имеют одинаковый цвет, раскраска же на рисунках представляет положение в сетке[5]. Одноцветные (1-плиточные) сетки состоят из шестиугольных параллелогонов.

13 шестиугольных изоэдральных мозаик
pg (××) p2 (2222) p3 (333) pmg (22*)
Isohedral tiling p6-1.png Isohedral tiling p6-2.png Isohedral tiling p6-3.png Isohedral tiling p6-6.png Isohedral tiling p6-9.png Isohedral tiling p6-10.png
pgg (22×) p31m (3*3) p2 (2222) cmm (2*22) p6m (*632)
Isohedral tiling p6-4.png Isohedral tiling p6-5.png Isohedral tiling p6-8.png Isohedral tiling p6-11.png Isohedral tiling p6-7.png Isohedral tiling p6-12.png Isohedral tiling p6-13.png

Другие топологически изоэдральные шестиугольные мозаики выглядят как четырёхугольные и пятиугольные, не соприкасающиеся сторона-к-стороне, но многоугольники которых можно рассматривать как имеющие коллинеарные смежные стороны:

Isohedrally-tiled quadrilaterals
pmg (22*) pgg (22×) cmm (2*22) p2 (2222)
Isohedral tiling p4-18.png
Параллелограмм
Isohedral tiling p4-20.png
Трапеция
Isohedral tiling p4-19.png
Параллелограмм
Isohedral tiling p4-19b.png
Прямоугольник
Isohedral tiling p4-17.png
Параллелограмм
Isohedral tiling p4-21.png
Прямоугольник
Isohedral tiling p4-22.png
Прямоугольник
Isohedrally-tiled pentagons
p2 (2222) pgg (22×) p3 (333)
P5-type1.png P5-type2.png P5-type3.png

2-однородные и 3-однородные замощения имеют вращательную степень свободы, которая искривляет 2/3 шестиугольников, включая случай коллинеарности сторон, что можно видеть как мозаики шестиугольников и больших треугольников с несовпадающими сторонами (не сторона-к-стороне)[6].

Мозаика может быть искривлена до хиральных 4-цветных переплетённых в трёх направлениях узоров, с превращением некоторых шестиугольников в параллелограммы. Переплетённые узоры с 2 цветными гранями имеют вращательную симметрию 632 (p6).

Правильная Повёрнутая Правильная Переплетённая
p6m, (*632) p6, (632) p6m (*632) p6 (632)
Uniform tiling 63-t12.png Gyrated hexagonal tiling2.png Truncated rhombille tiling.png Weaved hexagonal tiling2.png
p3m1, (*333) p3, (333) p6m (*632) p2 (2222)
Uniform tiling 333-t012.png Gyrated hexagonal tiling1.png Hexagonal tiling 4-colors.png Weaved hexagonal tiling.png

Упаковка кругов[править | править код]

Шестиугольную мозаику можно использовать для упаковки кругов, разместив круги одинакового радиуса с центрами в вершинах мозаики. Каждый круг соприкасается с 3 другими кругами упаковки (контактное число)[7]. Круги можно закрасить двумя цветами. Пространство внутри каждого шестиугольника позволяет поместить один круг, создавая наиболее плотную упаковку треугольной мозаики, в которой каждый круг соприкасается с максимально возможным числом кругов (6).

Hexagonal tiling circle packing.png Hexagonal tiling circle packing2.png

Связанные правильные комплексные бесконечноугольники[править | править код]

Существует 2 правильных комплексных апейрогона[en], имеющиx те же вершины шестиугольной мозаики. Рёбра правильных комплексных апейрогонов могут содержать 2 и более вершин. Правильные апейрогоны p{q}r имеют ограничение: 1/p + 2/q + 1/r = 1. Рёбра имеют p вершин и вершинные фигуры являются r-угольниками[8].

Первый апейрогон состоит из 2-рёбер, по три вокруг каждой вершины, второй имеет шестиугольные рёбра, по три вокруг каждой вершины. Третий комплексный апейрогон, имеющий те же самые вершины, квазиправилен и в нём чередуются 2-рёбра и 6-рёбра.

Complex apeirogon 2-12-3.png Complex apeirogon 6-4-3.png Truncated complex polygon 6-6-2.png
2{12}3 or CDel node 1.pngCDel 12.pngCDel 3node.png 6{4}3 or CDel 6node 1.pngCDel 4.pngCDel 3node.png CDel 6node 1.pngCDel 6.pngCDel node 1.png

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. 1 2 Голомб, 1975, с. 147.
  2. Weisstein, Eric W. Dual Tessellation (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  3. Мозаика называется моноэдральной, если она состоит из конгруэнтных плиток .
  4. Grünbaum, Shephard, 1987, с. Sec. 9.3 Other Monohedral tilings by convex polygons.
  5. Grünbaum, Shephard, 1987, с. 473–481, list of 107 isohedral tilings.
  6. Grünbaum, Shephard, 1987, с. uniform tilings that are not edge-to-edge.
  7. Critchlow, 1987, с. 74–75, pattern 2.
  8. Coxeter, 1991, с. 111-112, 136.

Литература[править | править код]

Ссылки[править | править код]