Шестнадцатая проблема Гильберта

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Шестна́дцатая пробле́ма Ги́льберта — одна из 23 задач, которые Давид Гильберт предложил 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков.

Исходно проблема называлась «Проблема топологии алгебраических кривых и поверхностей» (нем. Problem der Topologie algebraischer Kurven und Flächen).

Сейчас она считается разделяющейся на две похожие проблемы в разных областях математики:

  • Исследование взаимного расположения овалов вещественных алгебраических кривых степени n (и аналогичный вопрос для алгебраических поверхностей);
  • Получение верхней оценки на число предельных циклов полиномиального векторного поля степени n (и исследование их взаимного расположения).

Исходная постановка[править | править код]

Первая (алгебраическая) часть[править | править код]

Максимальное число замкнутых и отдельно расположенных ветвей, которые может иметь алгебраическая кривая n-го порядка, было определено Харнаком {Math. Ann., 10 (1876), 189-192}. <...> Мне представляется интересным основательное изучение взаимного расположения максимального числа отдельных ветвей, так же, как и соответствующее исследование о числе, характере и расположении отдельных полостей алгебраической поверхности в пространстве; ведь до сих пор не установлено, каково в действительности максимальное число полостей поверхности четвёртой степени в трёхмерном пространстве.[1].

Вторая (дифференциальная) часть[править | править код]

В связи с этим чисто алгебраическим вопросом я затрону ещё один, который, как мне кажется, должен быть решён с помощью упомянутого метода непрерывного изменения коэффициентов <...>, а именно, вопрос о максимальном числе и расположении предельных циклов Пуанкаре для дифференциального уравнения первой степени вида

где X, Y — целые рациональные функции n-й степени относительно x,y, или, в однородной записи,

где X, Y, Z — целые рациональные однородные функции n-й степени относительно x, y, z, которые и нужно определять как функции параметра t.[1]

История первой части[править | править код]

К моменту доклада Гильберта Ньютоном была получена классификация кривых степени 3 в аффинной плоскости, а доказанная Харнаком теорема позволяла оценить число компонент связности кривой степени d: оно не могло превосходить , где  — её род.

В докладе, Гильберт сообщил, что

« Что же касается кривых шестого порядка, то я — правда, на довольно сложном пути — убедился, что те 11 ветвей, которые получаются по Харнаку, никогда не расположены все вне друг друга; всегда существует одна ветвь, внутри которой есть ещё одна, и вне которой находятся остальные девять, или наоборот. »

Однако, как было обнаружено в 1969 году Д. А. Гудковым, также возможным является случай, когда внутри и вне одного овала кривой степени 6 находятся по 5 овалов — случай, который Гильберт считал невозможным. Анализируя свои построения, Гудков высказал гипотезу, утверждавшую для M-кривых чётной степени 2k сравнимость по модулю 8 с числом эйлеровой характеристики множества B точек проективной плоскости, в которых многочлен, задающий кривую, положителен, при условии, что знак этого многочлена выбран так, что B ориентируемо. В частности, это объясняло, что в трёх реализующихся типах М-кривых степени 6 числа овалов внутри, 1, 5 и 9, идут через 4. При эта гипотеза была доказана самим Гудковым. В общем случае она была доказана В. И. Арнольдом [3] в ослабленной форме сравнения по модулю 4, а затем В. А. Рохлиным [4][5] в полной общности, при рассмотрении специальным образом построенных четырёхмерных многообразий[6].

Построение различных примеров также привело О. Я. Виро к созданию техники склейки (patchworking), позволяющей «склеивать из кусочков с заданным поведением» алгебраические кривые.

История второй части[править | править код]

Индивидуальная теорема конечности[править | править код]

Первым шагом на пути к исследованию шестнадцатой проблемы Гильберта в полной общности должна была стать индивидуальная теорема конечности: полиномиальное векторное поле на плоскости имеет лишь конечное число предельных циклов. Эта теорема была опубликована в 1923 году в работе французского математика Анри Дюлака[7] и долгое время считалась доказанной.

В 1980-х годах Ю. С. Ильяшенко был обнаружен существенный пробел в доказательстве Дюлака[8][9], и вопрос индивидуальной конечности оставался открытым до 1991—92 года, когда Ильяшенко[10] и Экаль[11] одновременно и независимо, используя разные подходы, дали на него положительный ответ (изложение полного доказательства потребовало от каждого из них написания отдельной книги), см. также схему нового доказательства[12].

Стратегия Петровского-Ландиса[править | править код]

Квадратичные векторые поля[править | править код]

Ослабленные версии проблемы[править | править код]

См. также[править | править код]

Литература[править | править код]

  1. 1 2 Перевод доклада Гильберта с немецкого — М. Г. Шестопал и А. В. Дорофеева, опубликован в книге Проблемы Гильберта / под ред. П. С. Александрова. — М.: Наука, 1969. — С. 39. — 240 с. — 10 700 экз.
  2. 1 2 David Hilbert. Vortrag, gehalten auf dem internationalen Mathematiker-Kongreß zu Paris 1900 (нем.). — Текст доклада, прочитанного Гильбертом 8 августа 1900 года на II Международном конгрессе математиков в Париже. Проверено 27 августа 2009. Архивировано 8 апреля 2012 года.
  3. В. И. Арнольд, “О расположении овалов вещественных плоских алгебраических кривых, инволюциях четырехмерных гладких многообразий и арифметике целочисленных квадратичных форм”, Функц. анализ и его прил., 5:3 (1971), 1–9
  4. В. А. Рохлин, “Доказательство гипотезы Гудкова”, Функц. анализ и его прил., 6:2 (1972), 62–64
  5. В. А. Рохлин, “Сравнения по модулю 16 в шестнадцатой проблеме Гильберта”, Функц. анализ и его прил., 6:4 (1972), 58–64
  6. В. И. Арнольд, Что такое математика? МЦНМО, 2002; с. 43.
  7. Dulac, H. Sur les cycles limits. Bull. Soc. Math. France, 51: 45–188 (1923); // русский перевод: Дюлак А. О предельных циклах.— М.: Наука, 1980
  8. Ильяшенко Ю. С. О проблеме конечности числа предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости.— УМН, 1982, т. 37, вып. 4, с. 127.
  9. Ю. С. Ильяшенко. «Мемуар Дюлака „О предельных циклах“ и смежные вопросы локальной теории дифференциальных уравнений», УМН, 40:6(246) (1985), 41-78
  10. Yu. Ilyashenko, Finiteness theorems for limit cycles, American Mathematical Society, Providence, RI, 1991.
  11. J. Ecalle, Introduction aux fonctions analysables et preuve constructive de la conjecture de Dulac, Hermann, Paris, 1992.
  12. Ю. С. Ильяшенко. Теоремы конечности для предельных циклов: схема обновленного доказательства. Изв. РАН. Сер. матем., 80:1 (2016), 55–118
  • В. И. Арнольд, Что такое математика? МЦНМО, 2002; с. 39-45.
  • М. Э. Казарян, Тропическая геометрия, записки лекций.
  • Ю. С. Ильяшенко, Столетняя история 16-й проблемы Гильберта. В сборнике «Глобус: Общематематический семинар. Вып. 1», М.: МЦНМО, 2004. // Centennial history of Hilbert’s 16th problem, Bull AMS, v 39, no 3, 2002, 301—354.
  • Проблемы Гильберта. Сб. под ред. П. С. Александрова. М.: Наука, 1969.