Экспоненциал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Экспоненциал — теоретико-категорный аналог множества функций в теории множеств. Категории, в которых существуют конечные пределы и экспоненциалы, называются декартово замкнутыми.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть в категории существуют бинарные произведения. Тогда экспоненциал можно определить как универсальный морфизм из функтора в . (Функтор из в отображает объект в и морфизмы в ).

Более явно, экспоненциал объектов и  — это такой объект, вместе с морфизмом , называемым отображением оценки, что для любого объекта и морфизма существует единственный морфизм , для которого следующая диаграмма коммутативна:

Universal property of the exponential object

Если экспоненциал существует для всех в , то функтор, отправляющий в является правым сопряжённым к . В этом случае существует естественная биекция:

.

Примеры[править | править вики-текст]

В категории множеств экспоненциал  — это множество всех функций из в (кардинальная степень). Для любого отображения отображение  — это каррированная форма :

.

В категории топологических пространств экспоненциал существует, если  — локально компактное хаусдорфово пространство. В этом случае  — это множество непрерывных функций из в с компактно-открытой топологией. Если не локально компактное хаусдорфово пространство, экспоненциал может не существовать (пространство будет существовать, но отображение может перестать быть непрерывным). По этой причине категория топологических пространств не является декартово замкнутой.

Литература[править | править вики-текст]

  • Голдблатт Р. Топосы. Категорный анализ логики = Topoi. The categorial analysis of logic / Пер. с англ. В. Н. Гришина и В. В. Шокурова под ред. Д. А. Бочвара. — М.: Мир, 1983. — 488 с.
  • Маклейн С. Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.