Экспоненциальное отображение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Экспоненциальное отображение — далеко идущее обобщение экспоненциальной функции в римановой геометрии.

Для риманова многообразия экспоненциальное отображение действует из касательного расслоения в само многообразие .

Экспоненциальное отображение обычно обозначается , а его сужение на касательное пространство в точке обозначается и назывется экспоненциальным отображением в точке .

Определение[править | править вики-текст]

Пусть риманово многообразие и . Для каждого вектора существует единственная геодезическая , выходящая из точки (то есть ), такая что .

Экспоненциальное отображение вектора есть точка , или .

Свойства[править | править вики-текст]

  • .
Образ поверхности Земли при обратном экспоненциальном отображении к северному плюсу.
  • Для каждой точки существует такое число , что экспоненциальное отображение определено для всех векторов , удовлетворяющих условию .
    • Более того, является диффеоморфизмом некоторой окрестности нуля в касательном пространстве в некоторую окрестность точки многообразия . Таким образом, в некоторой окрестности точки многообразия определено обратное экспоненциальное отображение (называемое логарифмом и обозначаемое ), действующее в некоторую окрестность нуля касательного пространства .
  • Дифференциал экспоненциального отображения в любой точке является тождественным линейным оператором. То есть
для любого . Здесь мы отождествляем пространство, касательное к , с ним самим.
  • Для групп Ли с би-инвариантной метрикой экспоненциальное отображение совпадает с обычной теоретико-групповой экспонентой.

Ссылки[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко. Современная геометрия. — Любое издание.
  • А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко. Курс дифференциальной геометрии и топологии. — Любое издание.
  • М.М. Постников. Вариационная теория геодезических. — Любое издание.