Экстраполятор первого порядка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Экстраполятор первого порядка — математическая модель для восстановления дискретизованного сигнала, которое может производиться обычным цифро-аналоговым преобразователем (который в данном случае выступает в качестве экстраполятора нулевого порядка) и аналоговой схемой (интегратором). В этом случае сигнал восстанавливается в виде кусочно-линейной аппроксимации изначально оцифрованного сигнала. По сравнению с экстраполятором нулевого порядка экстраполятор первого порядка в общем случае имеет меньший шум квантования и, следовательно, более точно восстанавливает сигнал.

Математическая модель[править | править исходный текст]

Идеально оцифрованный сигнал xs(t).

Пусть xs(t) — сигнал до оцифровки, и x(nT) — сигнал после оцифровки. Тогда экстраполятор нулевого порядка есть фильтр преобразующий идеально оцифрованный сигнал x_s(t)\, = x(t) \ T \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - nT) \ |= T \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \delta(t - nT) \

Кусочно-линейный сигнал xFOH(t).

в кусочно-линейный сигнал

x_{\mathrm{FOH}}(t)\,= \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT) \mathrm{tri} \left(\frac{t - nT}{T} \right) \
Импульсная передаточная функция экстраполятора первого порядка hFOH(t).

и имеющий импульсную передаточную функцию

h_{\mathrm{FOH}}(t)\,=  \frac{1}{T} \mathrm{tri} \left(\frac{t}{T} \right)
 = \begin{cases}
\frac{1}{T} \left( 1 - \frac{|t|}{T} \right) & \mbox{if } |t| < T  \\
0           & \mbox{otherwise}
\end{cases} \
где \mathrm{tri}(x) \  — треугольная функция.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика экстраполятора первого порядка есть преобразование Фурье его импульсной передаточной функции:

H_{\mathrm{FOH}}(f)\, = \mathcal{F} \{ h_{\mathrm{FOH}}(t) \} \ = \left( \frac{e^{i \pi fT} - e^{-i \pi fT}}{i 2 \pi fT} \right)^2 \ = \mathrm{sinc}^2(fT) \

где \mathrm{sinc}(x) \  — sinc-функция.

Передаточная функция экстраполятора первого порядка получается формальной заменой s = i 2 π f:

H_{\mathrm{FOH}}(s)\, = \mathcal{L} \{ h_{\mathrm{FOH}}(t) \} \ = \left( \frac{e^{sT/2} - e^{-sT/2}}{sT} \right)^2 \

См. также[править | править исходный текст]