Экстремум

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Функция (синяя) и её производная (красная). Глобальный максимум функции обозначен символом 🞯, её глобальный минимум — ☐, локальный максимум — , локальный минимум — +, нуль производной без экстремума — ╳. Видно, что остальные нули производной соответствуют точкам экстремума функции.

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Задачи нахождения экстремума возникают во всех областях человеческого знания: теория автоматического управления, проблемы экономики, биология и т.д.[1]

Определения[править | править код]

Пусть дана функция и  — внутренняя точка области определения Тогда

  • называется точкой локального максимума функции если существует проколотая окрестность такая, что
  • называется точкой локального минимума функции если существует проколотая окрестность такая, что

Если неравенства выше строгие, то называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

  • называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если
  • называется точкой абсолютного минимума, если

Значение функции называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Замечание[править | править код]

Функция определённая на множестве может не иметь на нём ни одного локального или абсолютного экстремума. Например,

Необходимые условия существования локальных экстремумов[править | править код]

Пусть точка является точкой экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки .
Тогда либо производная не существует, либо .

Эти условия не являются достаточными, так, функция может иметь нуль производной в точке, но эта точка может не быть точкой экстремума, а являться, скажем, точкой перегиба, как точка (0,0) у функции .

Достаточные условия существования локальных экстремумов[править | править код]

  • Пусть функция непрерывна в и существуют конечные или бесконечные односторонние производные . Тогда при условии

является точкой строгого локального максимума. А если

то является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке .

  • Пусть функция непрерывна и дважды дифференцируема в точке . Тогда при условии
и

является точкой локального максимума. А если

и

то является точкой локального минимума.

  • Пусть функция дифференцируема раз в точке и , а .

Если чётно и , то  — точка локального максимума. Если чётно и , то  — точка локального минимума. Если нечётно, то экстремума нет.

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

  1. Пшеничный, 1969, с. 7.
  2. Кудрявцев Л. Д. Математический анализ. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1973. — Т. 1.

Литература[править | править код]

  • Пшеничный Б.Н. Необходимые условия экстремума. — М.: Наука, 1969. — 150 с.