Экстремум

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Экстре́мум (лат. extremum — крайний) в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума. В математическом анализе выделяют также понятие локальный экстремум (соответственно минимум или максимум).

Определения[править | править вики-текст]

Пусть дана функция и  — внутренняя точка области определения Тогда

  • называется точкой локального максимума функции если существует проколотая окрестность такая, что
  • называется точкой локального минимума функции если существует проколотая окрестность такая, что

Если неравенства выше строгие, то называется точкой строгого локального максимума или минимума соответственно.

  • называется точкой абсолютного (глобального) максимума, если
  • называется точкой абсолютного минимума, если

Значение функции называют (строгим) (локальным) максимумом или минимумом в зависимости от ситуации. Точки, являющиеся точками (локального) максимума или минимума, называются точками (локального) экстремума.

Замечание[править | править вики-текст]

Функция определённая на множестве может не иметь на нём ни одного локального или абсолютного экстремума. Например,

Необходимые условия существования локальных экстремумов[править | править вики-текст]

Пусть точка является точкой экстремума функции , определенной в некоторой окрестности точки .
Тогда либо производная не существует, либо .

Достаточные условия существования локальных экстремумов[править | править вики-текст]

  • Пусть функция непрерывна в и существуют конечные или бесконечные односторонние производные . Тогда при условии

является точкой строгого локального максимума. А если

то является точкой строгого локального минимума.

Заметим, что при этом функция не дифференцируема в точке .

  • Пусть функция непрерывна и дважды дифференцируема в точке . Тогда при условии
и

является точкой локального максимума. А если

и

то является точкой локального минимума.

  • Пусть функция дифференцируема раз в точке и , а .

Если чётно и , то  — точка локального максимума. Если чётно и , то  — точка локального минимума. Если нечётно, то экстремума нет.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Кудрявцев Л. Д. Математический Анализ. Том 1. — Москва: Высшая Школа, 1973.

См. также[править | править вики-текст]