Эллипс Штейнера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Вписанный и описанный эллипсы Штейнера для треугольника. Показаны красным цветом

Эллипсы Штейнера:

Существует единственное аффинное преобразование, которое переводит правильный треугольник в данный треугольник. Образ вписанной окружности правильного треугольника при таком преобразовании является эллипсом, который называют вписанным эллипсом Штейнера, а образ описанной окружности также является эллипсом, который называют описанным эллипсом Штейнера.

Определение вписанного эллипса Штейнера[править | править вики-текст]

  • В треугольник можно вписать бесконечно много эллипсов.
  • Однако в треугольник можно вписать единственный эллипс, который касается сторон в их серединах. Такой эллипс называется вписанным эллипсом Штейнера. Его перспектором будет центроид треугольника[1].
  • "Определение перспектора коники" (включая конику-эллипс) см. ниже.

Определение описанного эллипса Штейнера[править | править вики-текст]

  • Около треугольника можно описать бесконечно много эллипсов.
  • Однако около треугольника можно описать единственный эллипс, который касается прямых, проходящих через вершины и параллельных сторонам. Такой эллипс называется описанным эллипсом Штейнера.
  • Фокусы описанного эллипса Штейнера называют точками Скутина.
  • Чевианы, проведённые через фокусы описанного эллипса Штейнера (точки Скутина), равны (теорема Скутина).

Аффинное преобразование эллипса Штейнера[править | править вики-текст]

Если аффинным преобразованием («перекосом») перевести произвольный разносторонний треугольник в правильный треугольник, то его вписанный и описанный эллипсы Штейнера перейдут во вписанную и описанную окружности.

Определение перспектора коники[править | править вики-текст]

  • В треугольник можно вписать бесконечно много коник (эллипсов, парабол или гипербол).
  • Если в треугольник вписать произвольную конику и соединить точки касания с противоположными вершинами, то получившиеся прямые пересекутся в одной точке, называемой перспектором коники.
  • Для любой точки плоскости, не лежащей на стороне или на её продолжении существует вписанная коника с перспектором в этой точке[2].

Свойства[править | править вики-текст]

  • Вписанный эллипс Штейнера имеет наибольшую площадь среди всех эллипсов, вписанных в данный треугольник, а описанный — наименьшую среди всех описанных [3].
  • Вписанный эллипс Штейнера — эллипс, вписанный в треугольник и касающийся его сторон в серединах.
Свойства вписанной параболы
Парабола Киперта
  • (Теорема Мардена) фокусы вписанного эллипса Штейнера являются экстремальными точками многочлена третьей степени с корнями в вершинах треугольника на комплексной плоскости.
  • Перспекторы вписанных в треугольник парабол лежат на описанном эллипсе Штейнера[4]. Фокус вписанной параболы лежит на описанной окружности, а директриса проходит через ортоцентр[5]. Парабола, вписанная в треугольник, имеющая директрисой прямую Эйлера, называется параболой Киперта. Её перспектор — четвёртая точка пересечения описанной окружности и описанного эллипса Штейнера, называемая точкой Штейнера.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 54.
  2. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 108.
  3. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 55.
  4. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 110.
  5. Акопян А. В., Заславский А. А.. Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — 2011. — С. 27—28.